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#1 16-11-2008 21:17:07

GreMan
Nouveau membre du forum
Date d'inscription: 16-11-2008
Messages: 7

11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Nous allons étudier le modèle du "pancake", un des modèles officiels pour expliquer l'effondrement des tours du WTC.

Nous allons commencer par le modèle le plus simple c'est à dire celui où toute la masse reste dans l'empreinte de la tour, dans ce modèle il n'y a donc pas d'expulsion de matière et de nuage de poussières. Modèle incomplet, puisque dans la réalité d'énormes quantités de poussières et de débris ont été propulsés dans les airs au cours de la chute, mais modèle préliminaire et préalable à des modèles plus complexes.

Nous verrons par la suite que la quantité de matière expulsée au cours de la chute est d'une importance capitale pour valider ou non le modèle.


Comme méthode de calcul nous utiliserons le calcul intégral et différentiel.


Voilà les données du modèle: la tour nord est modélisée comme un parallélépipède de surface S et de masse volumique k. Initialement un bloc d'étages de masse m0 tombe à la vitesse v0 sur les étages inférieurs.


A chaque choc nous pouvons écrire que la variation de la quantité de mouvement par unité de temps est égale à la somme des forces extérieures s'exerçant sur le système, soit:


d(mv)/dt=mg où g est la valeur du champ de gravité


soit mdv+vdm=mgdt

Or durant l'intervalle de temps dt, le bloc de masse m collisionne avec une masse kSdx, où dx est la distance parcourue à vitesse v par le bloc pendant dt. Le choc est un choc mou, la masse percutée kSdx reste accrochée au bloc.


donc:

dm=kSdx

dt=dx/v


et mvdv + (v^2)kSdx=mgdx

avec m=m0+kSx (à x=0 m=m0)


posons h0=m0/(kS) et divisons cette équation par kS, nous obtenons:


(h0+x)vdv + (v^2)dx = (h0+x)gdx


posons f=v^2, alors df=2vdv


Nous obtenons alors une équation différentielle du première ordre avec second membre:


(1/2)(h0+x)df/dx + f = g(h0+x)


Résolvons l'équation sans second membre:

soit: (1/2)(h0+x)df/dx + f =0

df/f=-2dx/(h0+x)

ln(f/f0)=-2ln(h0+x/h0)

f=f0(h0/(h0+x))^2 avec f0=v0^2

f=(v0h0/(h0+x))^2




Employons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière:

dK/dx=g(h0+x)/(((h0+x)/2)(v0h0/(h0+x))^2)=2g(h0+x)^2/((v0h0)^2)

K(x)=2g(h0+x)^3/(3(v0h0)^2)) + constante

(la solution particulière étant K(x)f(x) où f(x) est la solution sans second membre)


La solution générale qui est la solution sans second membre plus la solution particulière est donc:


f=((v0h0)/(h0+x))^2(1 + 2g(h0+x)^3/(3(v0h0)^2)) + constante)



pour x=0 f=v0^2 d'où constante=-2gh0/(3v0^2)


finalement:


v=(v0h0/(h0+x))sqrt( 1 - 2gh0/(3v0^2) + 2g(h0+x)^3/(3(v0h0)^2) )


Application numérique:

v0=8.6 m/s (vitesse acquise après avoir chuté d'un étage de 3.75m)

h0=52.5 m (bloc initial de 14 étages)

g=9.81 m/s^2

x=360 m (chute d'une hauteur de 96 étages)

v=51.9 m/s (vitesse de fin de chute)


Nous allons maintenant maintenant calculer le temps de chute:

il s'agit donc de calculer l'intégrale de dt=dx/v pour x variant de 0 à 360.

Posons: A=(2g/(3(v0h0)^2))^(1/3), B= (2gh0/(3v0^2) - 1)^(1/3)


Effectuons le changement de variable X=(A/B)(h0+x)

nous sommes alors ramené au calcul de l'intégrale: sqrt(B)/(v0h0A^2) fois l'intégrale de X/sqrt(X^3-1) pour X variant de (A/B)h0 à (A/B)(h0+360)


numériquement: 2.72 fois l'intégrale de X/sqrt(X^3-1) pour X variant de 1.08 à 8.5   


Il existe un moyen assez calculatoire pour obtenir une bonne approximation de cette intégrale:

Puisqu'on est sur un intervalle de convergence uniforme on peut développer en série entière l'expression x(x^3 - 1)^(-1/2) et ensuite intégrer pour obtenir le développement en série entière d'une primitive:

Mais pour gagner du temps nous allons utiliser le logiciel Graphe Easy 2.26 téléchargeable gratuitement, et dont nous aurons également besoin ultérieurement.


Dans la partie calculatrice de ce logiciel taper la commande: Integrale(0,x/sqrt(x^3-1),1.08,8.5)

On obtient 4.005

Donc le temps de chute est 2.72x4.005=10.9s


Maintenant nous allons intégrer dans le modèle la pulvérisation et l'expulsion de matériau. A savoir que la variation d'énergie mécanique du système est employée d'une part pour pulvériser le matériau et d'autre part pour l'expulser.


Soit j la quantité d'énergie nécessaire pour pulvériser un kg de matériau.


soit dp la quantité de poussière pulvérisée, soit w sa vitesse d'éjection.

Entre x et x+dx l'énergie mécanique du système a varié de d((1/2)mv^2) - mgdx= mvdv + (1/2)(v^2)dm -mgdx

Cette variation est négative, le différentiel d'énergie ayant servi à la pulvérisation du matériau et à son éjection.

Nous pouvons alors écrire l'égalité: (1/2)dp(w^2) + jdp = -mvdv -(1/2)(v^2)dm + mgdx

Or dm=kSdx - dp (masse percutée - masse éjectée)


Posons m=kSh et divisons l'égalité par kS et par dx nous obtenons alors finalement l'équation différentielle suivante:

((3/2)v^2+j)dh/dx + (g - (1/2)d(v^2)/dx)h=2v^2 + j (1)


Ecrivons l'équation de la variation de la quantité de mouvement:


d(mv)+dpw=mgdx/v soit hdv + vdh + (dx - dh)w=hgdx/v  (*)


Déterminons la vitesse d'éjection w:

le bloc de masse m pousse à vitesse v la poussière de masse dp du matériau pulvérisé, ce choc est élastique et l'on peut écrire:

mvdv + (1/2)dpw^2=mgdl  (équation de la variation de l'énergie cinétique où dl est la distance parcourue par le bloc)

mdv + dpw=mgdl/v (équation de la variation de la quantité de mouvement) soit mvdv + vwdp = mgdl

En soustrayant les 2 égalités on obtient: (1/2)dpw^2 - vwdp=0 donc w=2v


Nous pouvons alors remplacer w par 2v dans (*) et nous obtenons alors une deuxième équation différentielle:


-v^2dh/dx + ((1/2)d(v^2)/dx - g)h=-2v^2 (2)


En posant f=v^2 on obtient ainsi deux équations différentielles couplées:

((3/2)f+j)dh/dx + (g-(1/2)df/dx)h=2f+j (3)

        -fdh/dx + ((1/2)df/dx-g)h=-2f  (4)



En additionnant (3) et (4): dh/dx=j/((1/2)f+j) (5)

Et en reportant dans (4): h=(f^2 + jf)/((g-(1/2)df/dx)((1/2)f+j)) (6)

Il suffit ensuite de dériver (6) et de l'égaler à (5)

Nous obtenons alors l'équation différentielle du second ordre en f non linéaire suivante:

((1/4)f^3 + (3/4)jf^2 + (1/2)(j^2)f)d2f/d2x + ((-1/4)f^2 + (-9j/8)f + (-3j^2/4))(df/dx)^2 + ((g/2)f^2 + (5gj/2)f + 2gj^2)df/dx + (-jg^2/2)f + (-j^2g^2) = 0 (7)


Pour obtenir l'équation du temps de chute il suffit de remplacer f par 1/(dt/dx)^2 puisque v=dx/dt, df/dx par -2(d2t/d2x)(dt/dx)^(-3) et d2f/d2x par -2(d3t/d3x)(dt/dx)^(-3) + 6(d2t/d2x)^2(dt/dx)^(-4)


Etablissons également l'équation différentielle vérifiée par h, pour cela il suffit de reprendre les équations (3) et (4) et d'écrire: f=2(j - jdh/dx)/(dh/dx) et df/dx=-2j(d2h/d2x)/((dh/dx)^2)


Suivant le même procédé que précédemment, en dérivant la première équation et en l'égalant à l'autre on obtient:

jhd2h/d2x + (-2j)(dh/dx)^3 + (gh + 6j)(dh/dx)^2 - 4j(dh/dx)=0 (8)

Nous avons donc l'équation différentielle du carré de la vitesse, l'équation différentielle du temps et l'équation différentielle de la masse à un coefficient multiplicatif près.

Pour étudier ces équations différentielles non linéaires nous allons utiliser la fonctionnalité de résolution numérique des équations différentielles de Graphe Easy 2.26:

Aller dans "Document"->"New mathematical object"->"Differential equations"->"Numerical resolution"

Pour obtenir une bonne précision, puisqu'il s'agit de l'algorithme d'Euler, c'est à dire que l'on construit pas à pas la solution, choisir "Points count"=10000

Suivant la syntaxe de ce logiciel nos 3 équations s'écrivent ainsi:

( (1/4)y^3 + (3/4)jy^2 + (1/2)(j^2)y )y[2] + ( (-1/4)y^2 + (-9/8)jy + (-3/4)j^2 )(y[1]^2) + ( (1/2)gy^2 + (5/2)gjy + 2g(j^2) )y[1] + (-1/2)(g^2)jy -(g^2)(j^2)=0 (carré de la vitesse) (9)

( (1/4)(y[1]^(-2))^3 + (3/4)j(y[1]^(-2))^2 + (1/2)(j^2)(y[1]^(-2)) )(-2y[3](y[1]^(-3)) + 6(y[2]^2)(y[1]^(-4))) + ( (-1/4)(y[1]^(-2))^2 + (-9/8)j(y[1]^(-2)) + (-3/4)j^2 )((-2y[2](y[1]^(-3)))^2) + ( (1/2)g(y[1]^(-2))^2 + (5/2)gj(y[1]^(-2)) + 2g(j^2) )(-2y[2](y[1]^(-3))) + (-1/2)(g^2)j(y[1]^(-2)) -(g^2)(j^2)=0 (temps de chute) (10)


jyy[2] - 2j(y[1]^3) + (gy+6j)(y[1]^2) - 4jy[1]=0 (masse à un coefficient multiplicatif près) (11)


où y[i] désigne la ième dérivée de y.

j est un paramètre que nous allons faire varier et g une constante (=9.81). (voir ->"Document"->"New parameter" et "New constant"")


Pour chacune des équations les conditions initiales (déduites des équations (3) et (4)) sont les suivantes:

(9): x=0, y=73.96, y[1]=2(g - ( 5470.08 + 73.96j)/(52.5(36.98+j)))

(10) x=0, y=0, y[1]=0.116, y[2]=-0.0015(g - ( 5470.08 + 73.96j)/(52.5(36.98+j)))

(11) x=0, y=52.5, y[1]=j/(36.98+j)

Rappelons que j représente la quantité d'énergie requise pour pulvériser un kg de matériau.

Le professeur Bazant de la FEMA écrit dans son rapport (http://www.scribd.com/doc/295112/Zdenek … e-Analysis):

"...the dissipation of about 865 J per kg of pulverized concrete, which is a realistic value"

Nous verrons ultérieurement que cette valeur de 865 joules pour pulvériser 1 kg de béton est ridiculement basse, mais que si il s'agit d'une valeur moyenne c'est à dire la valeur pour pulvériser 1 kg de matériau du WTC, sachant que le WTC est chargé avec des matériaux beaucoup moins solide que le béton (bois, plastique etc...) cette valeur est éventuellement acceptable.


Prenons donc j=865 joules, les résultats du calcul informatique sont les suivants:

f=1616.5 soit v=40.2 m/s

t=12.88 s

h=284.03 soit (284.03/(412.5))*100=68.85% de la masse initiale


Par rapport au résultat précédent où toute la masse restait dans l'empreinte,nous voyons donc que la perte d'1/3 de la masse implique un allongement du temps de chute de 18% et un ralentissement de la vitesse de fin de chute de 29% .


Mais le NIST (National Institute of Standards and Technology)  déclare dans son FAQ N°6:


"NIST estimated the elapsed times for the first exterior panels to strike the ground after the collapse initiated in each of the towers to be approximately 11 seconds for WTC 1 and approximately 9 seconds for WTC 2. These elapsed times were based on: (1) precise timing of the initiation of collapse from video evidence, and (2) ground motion (seismic) signals recorded at Palisades, N.Y., that also were precisely time-calibrated for wave transmission times from lower Manhattan (see NCSTAR 1-5A)."


Le temps de chute réel est donc beaucoup plus près d'un temps de chute avec conservation de la masse dans l'empreinte que d'un temps de chute avec éjection de matériau et perte de masse.


Prenons par exemple une valeur de j 10 fois plus grande: j=8650

Nous obtenons alors:

f=2441.63 soit v=49.41m/S

t=11.52 s

h=386.09

Donc là nous obtenons un temps plus proche du temps de chute réelle mais par contre nous n'avons une perte de masse que de 6.4%.

Voilà pourquoi la question de savoir quelle proportion de masse a été envoyée dans les airs avant que le bloc touche le sol est capitale: si ce n'est que 6% de la masse ça peut encore coller avec le temps, sinon y a un blême, en tout cas le (1/3) de la masse envoyée dans les airs est incompatible avec un temps de chute avoisinant les 11s. Pourtant Bazant de la FEMA déclare:

"About 67% of the mass of all slabs and core walls gets pulverized into dust during the crush-down, which explains the dust clouds seen jetting out" (http://www.scribd.com/doc/295112/Zdenek … e-Analysis)

Traduit en bon français: "A peu près 67% de la masse de toutes les dalles et de tous les mûrs porteurs sont pulvérisés en poussières durant l'effondrement, ce qui explique les jets de poussières".   
 
Sachant que Bazant considère qu'une tour pèse 500 000 tonnes, que la quantité de béton par tour est de 425 000/2 cubic yards, qu'un cubic yard de béton pèse au minimum 1000 kgs, soit au minimum 212 500 tonnes de béton par tour (voir http://www.infoplease.com/spot/wtc1.html), cela fait 67% de 212 500=142 375 , soit 28.5% de la masse totale au bas-mot.A rajouter à cela la masse perdue du chargement (accessoires, bureaux, etc...)


Pour sauver le modèle on pourrait se dire que relativement très peu de masse a éte éjectée durant l'effondrement de sorte que le temps de chute avoisine les 11s, et que la plus grosse proportion de masse éjectée l'a été au moment du choc avec le sol. Mais cette alternative n'est pas tenable car sous la tour il y a encore 6 sous-sols, donc l'effondrement se poursuit souterrainement, la poussière restant confinée comme dans un puit. Rien que les sous-sols à eux-seuls représentent une vingtaine de mètres en dessous du sol et d'après le témoignage de Tinsley de Pyrocool, société mandatée pour éteindre le feu souterrain:


"The combustible debris is mixed with twisted steel in a mass that covers 17 acres, and may be 50 metres deep. This is the one all future fire scenes will be measured against."

http://www.newscientist.com/article/dn1634
 

Pour sauver le modèle on peut encore se dire que ma foi il n'y a eu après tout que 6% de masse éjectée, mais cela suppose une valeur de j anormalement élevée (8650 joules, plus élevée que l'énergie requise pour pulvériser un kg de béton comme nous le verrons), mais surtout cela ne colle pas du tout avec les faits. Si l'on part d'une masse de 500 000 tonnes 6% cela fait 30 000 tonnes. 30 000 tonnes pour une tour.

Mais dans le "Chemical & Engineering News" est rapporté que: "With the collapse of New York City's two World Trade Center (WTC) towers on Sept. 11, 2001, more than 1 million tons of dust enveloped lower Manhattan"

http://pubs.acs.org/cen/NCW/8142aerosols.html

1 million de tonnes de poussières enveloppant le bas de Manahttan.

Sachant que 3 tours se sont effondrées, cela fait grosso modo 333 000 tonnes par tour.

Impossible donc de sauver le modèle de cette manière-là.

Je n'entrerais pas ici dans la problématique de la détermination de la masse du nuage de poussière, peut-être ultérieurement. Je n'indiquerais ici que quelques pistes pour réaliser cette évaluation:

Pour avoir un ordre de comparaison en terme de poids, de dimension et de densité:


"Avec une densité d’environ 0,2 g/m3, un cirrus de 1 kilomètre peut peser jusqu’à 200 tonnes. De son côté, un nuage d’orage (cumulonimbus) peut atteindre un poids de 1 million de tonnes puisqu’il peut contenir une densité d’eau de 1 gramme par mètre cube. Pourvu que le ciel ne nous tombe pas sur la tête!"


http://www.radio-canada.ca/nouvelles/do … eo/01.html


Pour avoir un ordre d'idée concernant la criticité d'une densité de poussière:

"la valeur limite en poussières des émissions gazeuses en provenance d'installations autres que celles mentionnées aux 2, 3, et 4 du présent article est 30 mg/m3 ".

http://aida.ineris.fr/textes/arretes/text0333.htm

Pour comprendre le lien entre opacité et densité:

http://www.ec.gc.ca/cleanair-airpur/cao … y_S6_f.cfm


Pour l'heure évaluons la quantité d'énergie requise pour pulvériser 1kg de béton par percussion:

Utilisons les informations sur les caractéristiques techniques du Bosch GSH 11 E

http://www.outilonline.com:80/marteaupiqueur.html

Pour le béton la fréquence de frappe minimum est de 1710 coups/mns avec une énergie de percussion de 25 joules, soit 1710*25*60=2565000 joules/heure

Et en une heure il enlève 490 kgs, soit 2565000/490=5235 joules pour 1 kg.

Donc si la tour était à vide et étant donné que l'acier n'est pas pulvérisé, la valeur de j serait de 5235 et l'on obtiendrait les résultats suivants:

f=2318.5 soit v=48.14 m/s

t=11.51 s

h=372.45 soit 90.3 % de la masse initiale. A vide il ne reste plus que l'acier et le béton soit une masse totale de 100 000 (tonnes d'acier) + 212 500 (tonnes de béton)=312 500 tonnes, donc 30 312.5 tonnes de béton projeté, soit 14,26% de la masse de béton initiale.

Il s'agit de la masse maximum de béton pouvant être projetée, car le fait de rajouter un chargement implique une répartition de l'énergie entre les divers matériaux.

Or comme nous l'avons vu pour coller aux faits il faudrait que ce modèle puisse projeter 333 000 - 187500 (chargement)=145 500 tonnes de béton, soit 68.5 % de la masse initiale de béton.
 
Passons maintenant aux calculs de puissance. En effet nous avons supposé jusque-là que le modèle développait une puissance suffisante pour pulvériser le béton dès les premiers étages, mais nous ne l'avons pas prouvé.

Evaluons la puissance par unité de surface, nécessaire pour pulvériser du béton par percussion.

Nous avons vu précédemment que le Bosch GSH 11 E avec une fréquence de frappe minimum pour du béton fournissait 2565000 joules en 1 heure, soit 2565000/3600=712.5 Watts


Le burin plat fait 25mm de diamètre (http://www.outilonline.com:80/catalog/m … -p-43.html)

Cela fait donc une puissance par unité de surface de 712.5/(3.1416*0.0125^2)=1 451 490 W/m^2

Evaluons maintenant la puissance développée par le système par unité de surface:

Reprenons les expressions de la masse/kS et de la vitesse du début (sans faire intervenir le paramètre j):

h=h0+x

v^2=v=(v0h0/(h0+x))^2( 1 - 2gh0/(3v0^2) + 2g(h0+x)^3/(3(v0h0)^2) )

Posons A=(v0h0)^2(1 - 2gh0/(3v0^2)), B=2g/3, X=h0+x

h=X, v^2=A/X^2 + BX, dx=dX

L'énergie cinétique par unité de surface est donc: Ec/S=(1/2)kX(A/X^2 + BX)=k/2(A/X + BX^2)

La variation d'énergie cinétique par unité de surface s'écrit donc: d(Ec/S)=k(-A/(2X^2) + BX)dX

A cela ajoutons la variation d'énergie potentielle par unité de surface, soit d(Ep/S)=-khgdx=-kgXdX

Et nous obtenons la variation d'énergie mécanique par unité de surface: d(E/S)=k(-A/(2X^2) + BX -gX)dX

B-g=2g/3-g=-g/3=-B/2

d(E/S)=k(-A/(2X^2) - (B/2)X))dX

La puissance par unité de surface est donnée par d(E/S)/dt=(d(E/S)/dX)dX/dt=kv(-A/(2X^2) - (B/2)X))=-k(sqrt(A/X^2 + BX))(A/(2X^2) + (B/2)X)

Le signe (-) s'explique parce que c'est de l'énergie cédée.

Numériquement:

Si l'on suppose que la tour pèse 500 000 000 kgs, sa surface=63^2=3969m^2, sa hauteur 412.5 on obtient une masse volumique k de 500 000 000/(412.5*3969)=305.4 kg/m^3

A=-742 506, B=6.54

Nous allons maintenant résoudre le problème de savoir à partir de quelle valeur de X la puissance du système par unité de surface atteint la puissance de pulvérisation du béton par unité de surface.

Pour cela nous allons utiliser la fonctionnalité d'intersection de courbes de la calculatrice de Graphe Easy:

taper: interx(1451490,305.4( -(742506/2)x^(-2) +(6.54/2)x) sqrt(-742506x^(-2) + 6.54x),0,360)

Et nous obtenons X=84.5 soit x=84.5 - 52.5=32m.

Après avoir parcouru 32m, soit un effondrement de 8 étages et demi, soit 8.8% du parcours, soit après avoir atteint une vitesse de 20.8 m/s et un accroissement de masse de 60%, soit après environ 2 secondes de chute, la puissance de pulvérisation du béton est atteinte.

Je n'entrerais pas ici dans la polémique de savoir si dès le "tout début" de la poussière de béton a été aperçue, ou depuis simplement le "début" de la chute.

Par contre qu'en est-il de l'acier?

Dans le "Chemical & Engineering News" nous trouvons ceci:

"The only thing that didn't get pulverized was the WTC towers' 200000 tons of structural steel. That was just bent, Meeker said" (http://pubs.acs.org/cen/NCW/8142aerosols.html)

L'acier n'a donc pas été pulvérisé, il a simplement été courbé.

Pour déterminer la puissance de pulvérisation de l'acier regardons les différences de perçage entre l'acier et le béton:

http://www.aeg-pt.com:80/internet/AEG_P … enDocument

Nous voyons que le diamètre de perçage dans l'acier est exactement 2 fois plus petit que celui dans du béton, c'est à dire que la puissance est concentrée sur une surface 4 fois plus petite. Par conséquent la puissance de pulvérisation de l'acier par unité de surface est 4 fois supérieure à celle du béton, soit 1451490*4=5805960 W/m^2

De même que pour le béton cherchons la valeur de X pour laquelle cette puissance est atteinte:

interx(5805960,305.4( -(742506/2)x^(-2) +(6.54/2)x) sqrt(-742506x^(-2) + 6.54x),0,360)

soit X=176.5 donc x=176.5 - 52.5=124 m

Après avoir chuté de 32 étages la puissance de pulvérisation de l'acier est donc atteinte, et il reste encore la hauteur de 64 étages à parcourir.

Comment se fait-il donc que l'acier ait été simplement déformé et qu'il n'y ait pas eu de poussière d'acier? (les particules de métal retrouvées dans les poussières provenaient du matériel des bureaux et PC(s))


Jusqu'à présent nous avons considéré que la résistance de la structure porteuse était inexistante. Mais pour expliquer la préservation de l'acier, nous pouvons émettre l'hypothèse contraire, tout au moins à partir de 124 mètres, à savoir que la structure porteuse a opposé une résistance et que la puissance n'a par conséquent pas dépassé le seuil de la pulvérisation de l'acier.


A partir de 124 mètres les équations sont alors les suivantes:

L'équation précédente de la variation de la quantité de mouvement n'est plus valable car il faut désormais prendre en compte la force de résistance de la structure porteuse.

L'équation du bilan énergétique est toujours valable, mais il faut désormais y introduire la contrainte de limitation de puissance:

(1/2)dpw^2 + jdp = -mvdv -(1/2)(v^2)dm + mgdx=WSdt=WSdx/v où W est la puissance de pulvérisation de l'acier par unité de surface.

Ce que l'on peut aussi écrire sous formes de 2 équations:

(1/2)dpw^2 + jdp=WSdx/v soit (1/2)(dx - dh)(4v^2) + j (dx -dh)=(W/k)/v d'où dh/dx=(2v^3+jv-W/k)/(2v^3+jv)   

Posons w=W/k (w ne désigne donc plus la vitesse d'éjection de la poussière), dh/dx=(2v^3+jv-w)/(2v^3+jv) (12)

-mvdv -(1/2)(v^2)dm + mgdx=Wdx/v soit -vhdv/dx -(1/2)v^2dh/dx + hg=w/v

donc en remplaçant dh/dx par l'expression trouvée en (12) on obtient finalement h=(2v^5+jv^3+3wv^2+2jw)/((4v^3+2jv)(g-vdv/dx)) (13)

En dérivant 13 par rapport à x et en l'égalant à 12 on obtient l'équation différentielle régissant la vitesse:

(8v^9+8jv^7+12wv^6+2(j^2)v^5+14jwv^4+4(j^2)wv^2)d2v/d2x + (-8v^8-8jv^6-2(j^2)v^4+20wv^5+18jwv^3+4(j^2)wv)(dv/dx)^2 + (-16v^8+32gv^7-16jv^6+32gjv^5+12wv^5-16gwv^4-4(j^2)v^4+8g(j^2)v^3+18jwv^3-8gjwv^2+4(j^2)wv)dv/dx+16gv^7-16(g^2)v^6+16gjv^5-16(g^2)jv^4-12gwv^4+8(g^2)wv^3+4g(j^2)v^3-4(g^2)(j^2)v^2-18jwgv^2+4jw(g^2)v-4g(j^2)v=0

Résolvons la numériquement avec Graphe Easy:

w=5805960/305.4=19011 et pour j=5235

(8y^9+8jy^7+12wy^6+2(j^2)y^5+14jwy^4+4(j^2)wy^2)y[2] + (-8y^8-8jy^6-2(j^2)y^4+20wy^5+18jwy^3+4(j^2)wy)(y[1]^2) + (-16y^8+32gy^7-16jy^6+32gjy^5+12wy^5-16gwy^4-4(j^2)y^4+8g(j^2)y^3+18jwy^3-8gjwy^2+4(j^2)wy)y[1]+16gy^7-16(g^2)y^6+16gjy^5-16(g^2)jy^4-12gwy^4+8(g^2)wy^3+4g(j^2)y^3-4(g^2)(j^2)y^2-18jwgy^2+4jw(g^2)y-4g(j^2)w=0

avec comme conditions initiales x=124, y=33.6, y[1]=0.1

On trouve v=31.23 m/s. La vitesse reste donc inférieure à 33.6 m/s de 124 à 360 m, il faut donc plus de 7 secondes pour parcourir la distance restante, sachant qu'il en faut 5.5 si l'on ne tient pas compte de la résistance et du paramètre j.

Et si l'on calcule la valeur de h finale à l'aide de (13) et de Graphe Easy qui nous fournit dv/dx en fin de chute (faire click droit->"Résultat" sur l'objet mathématique) on trouve: h=128, c'est à dire que 69% de la masse a été pulvérisée et envoyée dans les airs, soit 345 000 tonnes.

Le fait de tenir compte de la résistance de la structure porteuse permet donc d'expliquer pourquoi l'acier n'a pas été pulvérisé et pourquoi des centaines de milliers de tonnes de matière par tour ont été envoyées dans les airs (la variation de l'énergie mécanique étant beaucoup plus grande du fait de brusques décélérations, cela correspond à l'idée intuitive que l'on fend mieux une bûche sur un support résistant que sur un support qui cède immédiatement). 
   
Mais les vitesses sont beaucoup plus lentes (31.23 m/s en fin de chute au lieu de 51.9) et le temps de chute est allongé d'au moins 13%. (cela correspond à l'idée intuitive qu'un bon support stoppe la hâche dans sa course)



En conclusion il est impossible de concilier une chute aussi rapide avec autant de masse projetée, c'est soit l'un, soit l'autre mais c'est pas les deux à la fois, ou alors il faut faire appel à une autre source d'énergie pour expliquer la projection de matière, qui dans ce cas-là n'affecterait pas la vitesse de chute et réduirait considérablement la puissance développée (puisque le bloc chutant aurait une masse beaucoup plus faible), ce qui expliquerait la non-pulvérisation de l'acier.


La vérité est si obscurcie en ces temps et le mensonge si établi, qu'à moins d'aimer la vérité, on ne saurait la reconnaître. (Pascal)

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#2 16-11-2008 21:40:42

SHA GUA DAN
Invité

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Bienvenue sur le forum, GreMan smile .

Je ne sais quoi penser de ta démonstration : là, je suis complètement largué hmm .

Mais d'autres membres avec un bagage scientifique plus volumineux que le mien sauront sans nul doute t'adresser les félicitations qu'elle mérite wink .

 

#3 16-11-2008 21:53:00

AnneJ
Nouveau membre du forum
Lieu: Reims
Date d'inscription: 08-08-2008
Messages: 27
Site web

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Bienvenue GreMan,

Ton premier message est impressionnant. Il ne sera pas compris par beaucoup. Mais il semble que son contenu son très important et apporte une démonstration rigoureuse qui manquait. Pourrais-tu apporter une version de vulgarisation de ton discours pour ceux qui n'ont pas les connaissances physiques et mathématiques pour comprendre ton texte initial ?

AnneJ


Anne Jolly, Psychologue à Reims

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#4 16-11-2008 21:59:30

Coubiac
Membre Actif
Lieu: Rennes
Date d'inscription: 17-05-2006
Messages: 5432

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Salut et bienvenue.
Un temps de chute rallongée de 13% selon ton étude ne me parait pas être très significatif, je suis sûr que la marge d'erreur des mesures du NIST est supérieure à ton estimation tant il est difficile d'en faire une de correcte. Sinon bravo impressionnant tout ça wink.

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#5 17-11-2008 08:08:28

Keussèje
Membre du forum
Date d'inscription: 20-08-2008
Messages: 946

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent


    Dans cet exposé très complet, GreMan se propose d'établir, au sujet des Tours jumelles, qu'il y a incompatibilité entre les durée de chute observées d'une part, la pulvérisation du béton et l'expulsion de matière d'autre part, si la seule énergie mise en jeu a été l'énergie potentielle de pesanteur.
    Pour que tous puissent se faire une idée de la démarche, et afin de pouvoir engager une discussion sur cette intéressante étude, en voici un résumé, soumis bien sûr à l'appréciation de GreMan.

    Le modèle adopté est celui de planchers entre lesquelles la structure d'acier n'oppose pas de résistance. La méthode consiste à envisager diverses valeurs pour l'énergie de pulvérisation du béton, à déterminer la durée correspondante de la chute par les voies du cacul infinitésimal et à confronter les résultats aux faits.

    Si l'on suppose qu'il n'y ait ni pulvérisation, ni expulsion, et que la chute comporte l'écrasement de 96 étages, sa durée est de 10,9 secondes.

    On suppose ensuite qu'il y ait pulvérisation de béton. En admettant avec Bazant que 875 Joules suffisent pour en pulvériser un kilogramme, la durée de la chute est de 12,88 s et la perte de masse de la Tour est de 31,15 %. Mais le NIST donnant 9 s et 11 s comme durées effectives, la valeur  pour l'énergie de pulvérisation ne convient pas. En prenant dix fois plus, à titre d'exemple, la durée est ramenée à 11,52 s et la perte de masse à 6,4 %.
    Également d'après Bazant, 67 % du béton ont été pulvérisés et expulsés. Une Tour ayant une masse de 500.000 t, dont 212.500 pour le béton, il s'ensuit que ce sont en réalité 28,5 % de la masse de la tour qui ont été expulsés.

    Ce qui a été expulsé l'a été en cours de descente et a pris forme de nuage. D'après Chemical & Engineering News, les trois effondrements on produit un nuage constitué d'un million de tonnes de poussières, venues du béton mais aussi du chargement des immeubles. Il s'en tire que 68,5 % du béton ont été expulsés.
    Par ailleurs, la pulvérisation d'un kilogramme de béton par la technique du Bosch GSH 11 E demande 5235 J. En adoptant cette valeur, la durée passe à 11,51 s ; la perte de masse passe à 9,7 % pour la Tour et elle est de 14,26 % au maximum pour le béton. Ces résultats sont manifestement trop faibles.

    Il s'établit en outre que la puissance de pulvérisation du béton est atteinte après une descente de 8 ou 9 étages, soit au bout de 2 s. Ceci rend acceptable les calculs dans lesquels la pulvérisation commence d'emblée.
    Mais il s'établit aussi que la puissance de pulvérisation de l'acier est atteinte au bout de 32 étages de chute. Or Chemical & Engineering News a indiqué que l'acier n'avait pas été pulvérisé mais courbé. Qu'il n'ait pas été pulvérisé trouve son explication dans le modèle si l'on y  introduit la résistance de la structure porteuse : la théorie dit que la puissance de pulvérisation de l'acier ne peut pas être atteinte.

Dernière modification par Keussèje (18-11-2008 19:41:04)

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#6 17-11-2008 08:50:55

Armageddon
Membre du forum
Date d'inscription: 02-08-2007
Messages: 3870

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Keussèje a écrit:

Mais il s'établit aussi que la puissance de pulvérisation de l'acier est atteinte au bout de 32 étages de chute. Or Chemical & Engineering News a indiqué que l'acier n'avait pas été pulvérisé mais courbé. Qu'il n'ait pas été pulvérisé trouve son explication dans le modèle si l'on y  introduit la résistance de la structure porteuse : la théorie dit que la puissance de pulvérisation de l'acier ne peut pes être etteinte.

GreMan a écrit:

En conclusion il est impossible de concilier une chute aussi rapide avec autant de masse projetée, c'est soit l'un, soit l'autre mais c'est pas les deux à la fois, ou alors il faut faire appel à une autre source d'énergie pour expliquer la projection de matière,

La démonstration de GreMan et sa conclusion tombe sous le sens, en somme, dans le cas d'un effondrement en "pancake" on ne peut pas enchainer une pulvérisation totale des étages. 
Pour schématiser, un étage pulvérisé ne peut plus pulvériser celui du dessous.

Pour reprendre son exemple de la hache qui fend la buche : => la hache ne doit pas se pulvériser au contact de la buche.

Dernière modification par Armageddon (17-11-2008 13:53:36)


"Oculos habent et non videbunt, aures habent et non audient"

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#7 17-11-2008 14:21:51

Keussèje
Membre du forum
Date d'inscription: 20-08-2008
Messages: 946

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Armageddon a écrit:

La démonstration de GreMan et sa conclusion tombe sous le sens, en somme, dans le cas d'un effondrement en "pancake" on ne peut pas enchainer une pulvérisation totale des étages. 
Pour schématiser, un étage pulvérisé ne peut plus pulvériser celui du dessous.

Pour reprendre son exemple de la hache qui fend la buche : => la hache ne doit pas se pulvériser au contact de la buche.

Il faut en effet tenir compte de cet aspect des choses.

Peut-être la conclusion tombe-t-elle sous le sens ; mais méfions-nous des images simples. Le fer de la hache est homogène, tandis que les étages sont faits de deux matériaux ; même si le béton se puvérise entièrement, ce n'est pas le cas de l'acier. En outre l'effondrement, tel que GreMan l'envisage, ne commence pas tout en haut de la Tour (c'est d'ailleurs un point à éclaircir).

Peut-être la démonstration tombe-t-elle aussi sous le sens ; pour pouvoir en juger, j'espère arriver prochainement à la comprendre tout à fait. Attendons que GreMan ait commenté et amendé le résumé.

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#8 17-11-2008 16:53:16

Nicolas911
Date d'inscription: 07-10-2008
Messages: 428

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Le noyau central aurait du resté encore debout
le fait que les deux tours s'effondrent EXACTEMENT de la même façon résulte de quelque chose de préparé
un incendie si bref ne peut pas faire tombé un batiment aussi haut en chute libre et de façon si droite

de même que la puissance avec laquel le béton à été pulvérisé ne laisse aucun doute

http://wendyusuallywanders.files.wordpr … lition.jpg


POUR TROUVER LE COUPABLE REGARDE A QUI PROFITE LE CRIME

LE SAVOIR EST UNE ARME POUR QUI SAIT S' EN SERVIR
http://fr.youtube.com/watch?v=XlNlPan4-Ls

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#9 17-11-2008 17:01:47

Zébulon
Membre du forum
Date d'inscription: 30-07-2008
Messages: 180

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Est-il envisageable que le NIST se trompe sur les valeurs de 9 à 11s et que les chutes aient duré 13 secondes ?

Zébulon

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#10 17-11-2008 17:12:00

Coubiac
Membre Actif
Lieu: Rennes
Date d'inscription: 17-05-2006
Messages: 5432

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Ben ouais dans la mesure où ce ne sont que des approximations... En tous les cas je pense que la marge d'erreur est supérieure au 18% trouvé par notre ami.

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#11 17-11-2008 19:03:03

GreMan
Nouveau membre du forum
Date d'inscription: 16-11-2008
Messages: 7

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Bienvenue GreMan,

Ton premier message est impressionnant. Il ne sera pas compris par beaucoup. Mais il semble que son contenu son très important et apporte une démonstration rigoureuse qui manquait. Pourrais-tu apporter une version de vulgarisation de ton discours pour ceux qui n'ont pas les connaissances physiques et mathématiques pour comprendre ton texte initial ?

AnneJ

Pour accélérer il faut fournir de l'énergie.

Pour casser de la matière il faut fournir de l'énergie.

Pour envoyer de la matière dans les airs il faut fournir de l'énergie.

Pour vaincre une résistance il faut fournir de l'énergie.

Et initialement il n'y a qu'un stock d'énergie finie, donc l'énergie qui est consommée pour casser de la matière c'est autant d'énergie perdue pour aller plus vite.

Si un triathlète dépense toute son énergie dans l'épreuve de natation il ne lui en restera plus pour effectuer l'épreuve de vélo et de course à pieds. Et si malgré tout il parvient à tout faire c'est qu'il y a un truc.

Dans le cas du WTC il faut se demander si le stock d'énergie initiale permet à la fois d'aller vite et de casser beaucoup.

Voilà pour l'énergie.

Deuxième point important la masse: si votre voiture percute une trotinette, ça ne sera pas trop grave pour vous, vous allez continuer sur votre lancée comme si de rien n'était, si vous percutez un poids lourds de 33 tonnes, ça ne sera pas la même chose, vous allez être considérablement freiné, même on peut dire "aplati".

Lors d'un choc plus on est massif relativement à l'individu ou objet percuté, moins on perd de vitesse et donc de temps.

Dans le cas du WTC, le bloc en train de chuter gagne de la masse parce qu'à chaque collision la dalle percutée s'empile sous-lui, mais il en perd également parce qu'au passage il projette la matière pulvérisée. Il y a donc un double phénomène de grossissement et d'amaigrissement, et il faut se demander si au moment du choc nous allons avoir à faire à un maigrichon qui va s'aplatir sur la dalle ou au contraire à un colosse qui va emporter la dalle dans son élan et perdre ainsi très peu de vitesse.

Le premier modèle que j'étudie est le plus simple: pas de matière projetée, pas de résistance des structures, les dalles ne tiennent que par miracle (c'est à dire qu'au moindre choc elles tombent, n'étant tenues par rien), et elles n'opposent que leur inertie au bloc en train de chuter.

Ce modèle est donc le plus rapide, c'est celui d'un colosse qui n'arrête pas de grossir, qui emporte tout sur son passage, et qui perd très peu de vitesse à chaque choc. 

Il se trouve que le temps de chute de ce colosse est très proche de celui du WTC.

Donc si le WTC perd très peu de masse au cours de la chute, 6% par exemple, ça colle. Un homme de 100 kgs c'est la catégorie poids lourds, un homme de 94kgs c'est encore la catégorie poids lourd, et leur "performances" se valent.

Mais si le WTC perd 1/3 de sa masse au cours de la chute (comme on le voit dans un grand nombre de rapports), alors là nous n'avons plus affaire à un colosse, mais à un maigrichon. Un homme de 67 kgs ne fait plus partie de la catégorie poids lourds, par exemple pour enfoncer des portes il mettra beaucoup plus de temps que l'homme de 100 kgs, et si en plus il consacre encore du temps et de l'énergie à déblayer les débris et les plumes qu'il a laissées...

Et si malgré tout les perfs sont les mêmes, que le poids plume est aussi rapide que le poids lourd pour enfoncer les portes, alors évidemment cela éveillera les soupçons. 


 
La quantité d'énergie c'est une chose, la puissance c'en est une autre: vous pouvez sauter pendant 10 ans sur une plaque de béton, vous dépenserez beaucoup plus d'énergie qu'une seule frappe de marteau-piqueur, mais vous ne casserez jamais la plaque alors qu'une seule frappe de marteau piqueur permet de casser la plaque.

Avoir beaucoup d'énergie cela ne veut pas dire que vous avez beaucoup de puissance et avoir beaucoup de puissance cela ne veut pas dire que vous avez beaucoup d'énergie.


Si vous êtes capables de fournir très peu d'énergie, mais en très peu de temps, vous êtes puissant.

Or le modèle du pancake n'est pas un modèle très énergétique relativement à toutes les prouesses qu'il est censé accomplir: projeter des centaines de milliers de tonnes dans les airs et chuter très rapidement.

On voit mal comment avec le stock d'énergie initiale dont il dispose il pourrait accomplir tout ça.

Par contre c'est un modèle extrêmement puissant: en fin de chute on arrive à des puissances 3, 4 fois supérieures à celle qu'il faut pour pulvériser de l'acier.

Et là bizarrement on nous dit que l'acier n'a pas été pulvérisé mais simplement courbé.

Donc il y a des prouesses qu'il devrait accomplir du fait de sa puissance et il ne les accomplit pas, et il y a des prouesses qu'il ne devrait pas accomplir du fait d'un manque d'énergie, et il les accomplit!


J'ai essayé ensuite de voir si en introduisant la résistance des structures on pouvait lever les inconsistances, on peut alors concilier impuissance à pulvériser de l'acier et énergie suffisante pour projeter des centaines de milliers de tonnes, mais on n'arrive pas à concilier cela avec une vitesse rapide, on arrive péniblement au 33 m/s en fin de chute, au lieu des 50m/s annoncées (voir Bazant)


La vérité est si obscurcie en ces temps et le mensonge si établi, qu'à moins d'aimer la vérité, on ne saurait la reconnaître. (Pascal)

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#12 17-11-2008 19:26:51

cristof
Membre Actif Asso
Lieu: Poitou-Charentes
Date d'inscription: 13-02-2007
Messages: 1457

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Ton premier message était réservé aux physico-matheux neutral

Merci pour le deuxième qui est bien plus digeste pour la plupart d'entre nous wink


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Pour soumettre une vidéo à traduire pour publication sur Reopen911, rendez-vous sur ce fil http://forum.reopen911.info/viewtopic.php?id=13262
Pour soumettre une vidéo en français ou déjà traduite, utilisez notre formulaire en ligne http://www.reopen911.info/videos/soumet … video.html

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#13 17-11-2008 19:44:47

Nicolas911
Date d'inscription: 07-10-2008
Messages: 428

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

la similitude avec une démolition controlé est indiscutable

la seul chose qui change c'est que dans la VO c'est le feu


POUR TROUVER LE COUPABLE REGARDE A QUI PROFITE LE CRIME

LE SAVOIR EST UNE ARME POUR QUI SAIT S' EN SERVIR
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#14 17-11-2008 19:46:34

mandragore
Nouveau membre du forum
Date d'inscription: 04-11-2008
Messages: 9

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

"Pulvériser de l'acier" ça consiste en quoi exactement ? du béton, j'arrive à voir, mais de l'acier ?

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#15 17-11-2008 20:21:27

Keussèje
Membre du forum
Date d'inscription: 20-08-2008
Messages: 946

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Kenneth Kuttler a publié une étude de même orientation principale dans le Journal of 9/11 Studies. Elle a été présentée ici. La vôtre, GreMan, n'en est pas moins intéressante. Elle est originale par trois aspects : l'usage du calcul infinitésimal, les calculs de pulvérisation et la prise en compte de la puissance. Une comparaison des résultats serait donc bienvenue.

En rédigeant le résumé, en #5, je n'ai pas toujours été sûr de rendre suffisamment les articulations de votre raisonnement. Si vous pensez que c'est le cas, n'hésitez pas à me reprendre. Une bonne synthèse est en effet indispensable.

Il y aurait une petite amélioration de forme à donner à votre texte qui nous faciliterait la discussion : mettre une numérotation interne, voire des titres de sections, pour qu'il soit aisé de faire référence aux différents passages.

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#16 17-11-2008 21:01:24

SHA GUA DAN
Invité

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Merci pour ton explication, GreMan. Tout s'éclaire à présent pour moi ! (Si tu es enseignant, tes élèves doivent se régaler smile ).

 

#17 17-11-2008 23:25:52

Arthure
Membre du forum
Date d'inscription: 19-10-2008
Messages: 160

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Brillant!
Il ne reste plus qu'à le faxer au NIST lol

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#18 18-11-2008 11:22:23

Nicole
Membre du forum
Lieu: Paris
Date d'inscription: 24-03-2008
Messages: 209
Site web

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Ou bien à l'envoyer à France 2, avant qu'ils bouclent le reportage ? Je n'ai aucune compétence qui me permette de suivre précisément, mais le sens me semble être qu'il est impossible d'avoir l'énergie suffisante pour à la fois s'affaisser, et se projeter, comme certains morceaux l'ont été (projetés) dans les immeubles voisins, ce que disait aussi Gage à sa conférence.

Bienvenue et merci, GreMan smilesmilesmile

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#19 18-11-2008 12:27:48

JiPé
Membre du forum
Date d'inscription: 04-11-2008
Messages: 784

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Attention pour la quantité de béton : Richard Gage parle lui de 90.000 tonnes* par tours, la valeur de 212 500 tonnes étant apparemment la quantité de béton totale utilisée, incluant les fondations.

* Unité à vérifier, car il y a trois unités différentes sous la même appelation :

Metric Ton = 2204,6 Pounds = 1000,00 Kg
Long Ton = 2240 Pounds = 1016,04 Kg
Short Ton = 2000 pounds = 907,18 Kg[/list]

Dernière modification par JiPé (18-11-2008 12:28:50)


2 avions, 3 tours, cherchez l'erreur ?

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#20 18-11-2008 13:28:12

Keussèje
Membre du forum
Date d'inscription: 20-08-2008
Messages: 946

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

La long ton n'est-elle pas celle du Royaume-Uni et la short ton celle des Etats-Unis ?

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#21 18-11-2008 13:40:09

Keussèje
Membre du forum
Date d'inscription: 20-08-2008
Messages: 946

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Entrer dans la résolution même des équations différentielles n'est pas urgent. En revanche, bien des lecteurs sont sûrement désireux d'examiner les débuts de vos calculs, GreMan, moins pour les vérifier que pour approfondir la compréhension de la démarche. Car c'est souvent dans les prémices des calculs que des hypothèses, voire des définitions, jusque-là restées implicites manifestent leur présence.

Dans le cas présent, la tache des lecteurs serait sûrement facilitée par quelques explicitations préliminaires. Serait-il possible, par exemple, de connaître la définition exacte du repère utilisé, ainsi que celles de x et de h ?

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#22 18-11-2008 21:48:32

GreMan
Nouveau membre du forum
Date d'inscription: 16-11-2008
Messages: 7

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

mandragore a écrit:

"Pulvériser de l'acier" ça consiste en quoi exactement ? du béton, j'arrive à voir, mais de l'acier ?

Cela vaut peut-être mieux pour vous, je me souviens d'un bricolo du dimanche qui avait voulu percer de l'acier et s'était pris une fine particule de métal dans l'oeil, il avait du subir une opération.



Keussèje a écrit:

Entrer dans la résolution même des équations différentielles n'est pas urgent. En revanche, bien des lecteurs sont sûrement désireux d'examiner les débuts de vos calculs, GreMan, moins pour les vérifier que pour approfondir la compréhension de la démarche. Car c'est souvent dans les prémices des calculs que des hypothèses, voire des définitions, jusque-là restées implicites manifestent leur présence.

Dans le cas présent, la tache des lecteurs serait sûrement facilitée par quelques explicitations préliminaires. Serait-il possible, par exemple, de connaître la définition exacte du repère utilisé, ainsi que celles de x et de h ?

Le référentiel c'est celui lié au sol, c'est donc un référentiel non inertiel, puisqu'il existe un champ de gravité: la quantité de mouvement varie, cela vaut le coup de le préciser, parce que j'ai vu les calculs d'un ancien ingénieur, reconverti en je ne sais trop quoi, qui appliquait le théorème de la conservation de la quantité de mouvement dans ce référentiel, absurde: c'est le théorème de la variation de la quantité de mouvement qu'il faut appliquer.


L'origine du repère se trouve à 360 mètres du sol, hauteur du 96ème étage, le premier étage à recevoir le bloc de 14 étages qui tombe sur lui à la vitesse de 8,6 m/s (vitesse acquise après une chute d'un étage (3.75m)).


L'axe des x est orienté vers le bas, donc quand x croit l'énergie potentiel décroit.

x mesure la distance parcourue par le bloc depuis l'origine.

h est homogène à une distance, mais n'est en aucun cas la hauteur du bloc, h est le rapport de la masse du bloc par le produit de la surface de la tour par sa masse volumique: h=m/(kS)

C'est simplement une variable proportionnelle à la masse et qui permet de simplifier les calculs.

Si vous voulez lorsque j'ai des égalités du type xkS=ykS, plutôt que de me trimballer tout le long des calculs avec des kS, je divise tout par kS et je ne manipule plus que les variables x et y et égalités x=y.

Notez d'ailleurs que la plupart du temps la masse n'intervient pas dans les calculs, ce qui intervient c'est un rapport entre masse (masse projetée versus masse restante).

Là où la masse intervient (via la masse volumique du modèle), c'est dans les calculs de puissance, car là on ne manipule plus des grandeurs relatives, mais on confronte la puissance du système à des puissances de pulvérisation de matériau. Plus la tour est lourde, plus la puissance de pulvérisation du béton, puis de l'acier sera atteinte rapidement.


La vérité est si obscurcie en ces temps et le mensonge si établi, qu'à moins d'aimer la vérité, on ne saurait la reconnaître. (Pascal)

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#23 18-11-2008 23:00:10

Nicole
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

J'arrive, et la première chose que je regarde, c'est si vous nous avez fait cadeau d'un troisième message : je suis comblée ! D'accord, j'entrave que dalle, ça me passe à cent coudées au dessus du scalp. N'empêche :

- 1 - j'espère que vous continuerez au même rythme,

- 2 - petit à petit, je comprendrai peut-être mieux,

- 3 - j'ai comme l'idée que vous nous apportez des munitions dont il s'agira de faire bon usage,

Grand merci, et à demain ? big_smile

Si dans l'intervalle je trouve quelque question pertinente,ce qui présuppose que j'aurai acquis une vision plus claire, voire des repères, je ne manquerai pas de vous en faire part.

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#24 18-11-2008 23:12:17

moorea34
Invité

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Bonjour,

Pour mon premier message je ferai quelques commentaires sur les développements mathématiques de GreMan…
La première partie du post permet au travers d’une homogénéisation de la tour d’effectuer un calcul intégral qui résout les équations différentielles régissant l’effondrement.
Cette méthode est intéressante. Elle peut être rapprochée de la modélisation de Greening qui a fait la même analyse mais au travers d’une analyse discrète et non intégrale : http://www.911myths.com/WTCREPORT.pdf. Ce doit être à lui que GreMan fait référence dans son 3ième message…
Alors que le calcul intégral et différentiel  nécessite des approfondissements qui sont pour l’essentiel appris après le bac, la conservation de la quantité de mouvement exposée par Greening est accessible à un élève de seconde. Je vous invite donc à le lire...
Ce qui est bien sûr intéressant de noter c’est que les deux méthodes donnent quasiment les mêmes résultats : pour ce que Greening appelle la première partie de l’effondrement (les 14 étages chutent sur les reste de la structure) les résultats en temps de chute sont de (10.9s GreMan et 11.6s Greening) et en vitesse (51.9 m/s GreMan et 51.2 m/s Greening). Compte tenu de l’incertitude liée à la mesure de la chute réelle, inutile d’ergoter sur ces faibles écarts.
La méthode discrète et l’homogénéisation donnent des résultats très voisins, c’est déjà un résultat très rassurant pour pouvoir poursuivre l’étude !!

Sur la partie énergétique, je serai par contre beaucoup plus critique.
D’abord la notion de « pulvérisation » de l’acier est assez révolutionnaire… Si le béton est pulvérisé, c’est tout simplement parce que c’est un matériau à rupture fragile, sensible aux chocs, alors que l’acier est un matériau ductile… C’est d’ailleurs pour cela que lorsque vous utilisez votre perceuse, vous la mettez en mode ‘percussion’ pour le béton et ‘normal’ pour l’acier. Il est beaucoup plus réaliste de calculer l’énergie nécessaire pour courber l’acier de façon permanente (déformation plastique) ce qui est fonction de la limite élastique et de la section droite (aire et inertie). C’est ce qu’on appelle la formation d’une rotule plastique. Il peut même y avoir rupture si on dépasse l’allongement limite qui est de quelques pourcents pour l’acier… Parler de pulvérisation de l’acier est un non-sens physique pour ce cas d’étude et dénote une mauvaise interprétation du comportement du matériau.  Nous de sommes pas dans le cadre d'un usinage.
Concernant l’énergie de pulvérisation d’un béton (865J/kg) qui est annoncée ‘ridiculement basse’, ce qui est plus parlant que le marteau piqueur et le burin, c’est d’évaluer la taille d’une éprouvette cubique de béton de 1kg à 1500 kg/m3 de masse volumique et de voir quelle est l’énergie cinétique correspondante : cette éprouvette de même pas 9 cm de côté se déplace alors à 150 km/h. Vous conviendrez que cette vitesse n’est pas idiote pour pulvériser cette éprouvette sur une surface faite d’un matériau infiniment rigide et résistant. De plus cette éprouvette étant faite dans un béton de qualité très moyenne, cela rend d’autant plus réaliste cette valeur. En effet, l’énergie de fracturation communément admise d’un béton est de 100 J pour 1m² (valeur prise par Greening dans le papier cité plus haut), mais cette valeur est valable pour des bétons classiques de 35 à 50 MPa de résistance à la compression. De plus, cette énergie est aussi fonction du rapport Ciment/Eau, de la grosseur du plus gros granulat et de sa nature (roulé ou concassé) : voir  http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00 … 009161.pdf  ou Bazant Z. P., Becq-Giraudon E. Statistical prediction of fracture parameters of concrete and implications for choice of testing standard. Cement and Concrete Research, p. 529-556, 2002.
Dans le cas du béton du WTC, je manque de données, mais vu la densité obtenue, la fluidité importante observée sur le film de la construction (rapport C/E, granulats roulés ??), le peu de connaissances à l’époque en matière de fluidifiant pour béton, et vu que les bétons légers actuels tournent autour de 15 à 20 MPa maximum, il n’est pas malhonnête de penser que la résistance du béton du WTC ne dépassait guère les 15 MPa. Cela explique pourquoi Bazant et Greenning ont pris 20 J et non 100 J comme énergie de fracturation par m² dans leur dernier article et c’est ce qui a donné, après calcul, la valeur de 865 J/kg pour les tailles de particules retrouvées sur le site.

Enfin, concernant les puissances, j’avoue que là ça ne ressemble… à rien de ce qui m’ait été donné de voir !!! Je m’inquiète un peu car je ne trouve pas  de sens physique à l’introduction de cette puissance de pulvérisation par m² … par la suite, elle est appliquée à 1m² de surface de tour… D’accord à la limité pour le béton,  mais comme c’est la même formule qui est utilisée pour l’acier : interx(580…..etc) cela voudrait dire qu’en terme de surface, on aurait la même quantité de béton et d’acier par m² de tour !!?? Bizarre, très bizarre ….. Cela dépend forcément de la densité de ce béton ou de cet acier dans la structure ! Où est-ce que c’est pris en compte dans le calcul ?? Cela mérite des explications complémentaires..
A force de tout vouloir homogénéiser et simplifier, j’ai l’impression qu’on perd le sens physique …  et c’est bien dommage après avoir développé tant d’ « énergie » dans des équations différentielles et des intégrales.

Scientifiquement votre…

Dernière modification par moorea34 (18-11-2008 23:15:47)

 

#25 19-11-2008 00:05:05

charmord
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Il est vrai que même si la démonstration de Greman et surtout sa vularisation semblait cohérente (bien que je sois bien incapable de vérifier les calculs sur lesquels elle se fonde), j'ai été étonné de cet argumentation relative à la pulvérisation de l'acier. Cela semble tellement contre nature...
Nous attedons à présent la réponse de l'auteur de ce topic intéressant à la dernière intervention de moorea 34.

Je me demandais aussi s'il était possible de quantifier la déperdition de l'énergie cinétique généré par la pulvbérisation du béton au cours du processus de collapse. Cette déperdition a-t-elle été calculée par les auteurs qui se sont attaqués à la question? N'induit-elle pas une nécessaire décélération du front d'effondrement qui n'est pas constatée empiriquement?

Désolé si ces questions sont mal torchées ou n'ont aucun sens. Elles sont le fruit du "bon sens" d'un gars qui est tout sauf scientifique.

Pour ma part, après en avoir conféré avec des amis architectes et ingénieurs, j'en avais retenu que ce calcul était un mauvais argument de truther pour la bonne et simple raison que les données de base, comme par exemple le volume et le poids du bloc, la quantité de béton et surtout le temps d'effondrement lui-même étaient eux-même relativement controversés et qu'en outre, ce calcul était soumis à un nombre tellement énorme de variables, qu'il prêterait toujours le flanc à une critique d'un camp ou de l'autre...

Qu'en pensez-vous?

Dernière modification par charmord (19-11-2008 00:09:34)


La manière la plus sûre de corrompre une jeunesse est de l'instruire a tenir en plus haute estime ceux qui pensent de même que ceux qui pensent différemment."

Friedrich Nietzsche

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#26 19-11-2008 00:20:45

franck33
Invité

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Le problème des scientifiques dans la rationalité est: comment ce fait-il que sur le nombre, personne parles ( des explosifs ou de l'inside-job)?

 

#27 19-11-2008 00:38:05

Keussèje
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

charmord a écrit:

Pour ma part, après en avoir conféré avec des amis architectes et ingénieurs, j'en avais retenu que ce calcul était un mauvais argument de truther pour la bonne et simple raison que les données de base, comme par exemple le volume et le poids du bloc, la quantité de béton et surtout le temps d'effondrement lui-même étaient eux-même relativement controversés et qu'en outre, ce calcul était soumis à un nombre tellement énorme de variables, qu'il prêterait toujours le flanc à une critique d'un camp ou de l'autre...
Qu'en pensez-vous?

Bien sûr qu'il y a beaucoup à dire du rapport entre ce modèle et la réalité. Moorea34 a évoqué cela par un biais et vous par un autre. Travaillons donc à obtenir encore plus d'éclaircissements de la part de GreMan.

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#28 19-11-2008 00:48:19

Keussèje
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent


    Merci bien pour les précisions, GreMan. Concernant le repère et x, les choses sont tout à fait claires. Elles le sont un peu moins concernant h. Mais je souhaiterais que nous puissions aborder cela en prenant un peu de recul au sujet du bloc supérieur.

    Sans doute serez-vous d'accord pour dire, à l'intention de vos lecteurs qui en douteraient, que « bloc » désigne, à un instant quelconque t de la chute, le bloc initial correspondant à 14 étages, accru des matériaux heurtés jusqu'à t, qu'ils soient conservés ou expulsés.
    Il y a deux choses difficiles à saisir à son sujet. La première est de comprendre la description de son heurt avec ce qui est dessous. La seconde est de percevoir son devenir global : à quoi ressemble-t-il, dans votre modèle, par exemple au bout de 10 secondes ?.

    Une approche comme celle de Kuttler est clairement « discrète » : les étages comportent un vide séparant deux « planchers », lesquels sont distants au départ de près de quatre mètres. Dans ce cas, il y a clairement chute puis heurt. Le plancher heurté se colle immédiatement au bloc heurtant pour former avec lui un bloc accru, et tout recommence immédiatement avec ce nouveau bloc.
    Votre approche infinitésimale conduit à des problèmes mathématiques « continus », dont vous nous exposez d'ailleurs les solutions avec un soin remarquable. Comme toujours lorsque l'on utilise le calcul différentiel en physique, le raisonnement comporte un mélange de continu et de discret. À l'arrivée, le miracle leibnizien se produit (presque) toujours : on arrive au bon résultat sans pouvoir pour autant en donner toutes les raisons au spectateur ébahi. N'ignorant donc pas que l'exercice a ses limites, et n'attendant pas de vous l'impossible, j'aurais néanmoins souhaité rendre plus claire la description du choc dans votre modèle.
    Vous écrivez que « durant l'intervalle de temps dt, le bloc de masse m collisionne avec une masse kSdx, où dx est la distance parcourue à vitesse v par le bloc pendant dt. Le choc est un choc mou, la masse percutée kSdx reste accrochée au bloc. ». Comment comprendre la collision ? La partie heurtée a une hauteur dx. Le bloc parcourant cette hauteur pendant dt, il paraît difficile de parler de choc. En fait, si le langage des percussions a l'avantage d'évoquer l'origine discrète du problème, le souci d'exactitude ne devrait-il pas conduire à y renoncer ?

    Pour ce qui est du devenir du bloc, je me contenterai pour le moment de revenir sur h. Vous dites que « h est homogène à une distance, mais n'est en aucun cas la hauteur du bloc, h est le rapport de la masse du bloc par le produit de la surface de la tour par sa masse volumique: h = m / (kS). C'est simplement une variable proportionnelle à la masse et qui permet de simplifier les calculs. »
    Vous comprendrez, j'imagine, qu'il y ait là de quoi être perplexe. Certes h est proportionnelle à la masse, et tant mieux si elle simplifie les calculs. Mais n'en est-il pas de même de la hauteur H du bloc ? Quel relation h et H entretiennent-elles ?
    D'après la définition de h on a m = h.k.S ; par ailleurs on a m = k.(S.H) ; il s'ensuit que h = H. Comment accorder cela avec votre point de vue ? Faut-il comprendre que, en quelque sorte,H est la mesure d'un côté d'un rectangle et que h est la mesure du côté qui lui est parallèle ?

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#29 19-11-2008 00:55:30

Nicole
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Je m'étonne de deux choses, Moorea :

- Votre premier lien est inactif,
- Le second n'apparaît pas sur votre site, bastison.net.

Vue l'heure, j'ai fait une recherche dans le corps de la thèse sur "pulvérisation" : aucune occurrence, sur "rapport Ciment/Eau" : aucune occurence, et sur "éprouvette : 4 occurrences.

Pour vous avoir côtoyé sur @si, je connais la véhémence avec laquelle vous critiquez le questionnement de la VO. Je suis curieuse de la suite, parce que personnellement, je trouve très intéressant d'observer qu'effondrement et projection dans le même temps demandent une énergie énorme.

Quand je me reporte par exemple à ces récits de témoins :

"September 12, 2001-February 2002: Witnesses See Molten Metal in the Remains at Ground Zero


In the weeks and months after 9/11, numerous individuals report seeing molten metal in the remains of the World Trade Center:

- Ken Holden, who is involved with the organizing of demolition, excavation and debris removal operations at Ground Zero, later will tell the 9/11 Commission, “Underground, it was still so hot that molten metal dripped down the sides of the wall from [WTC] Building 6.” [9/11 Commission, 4/1/2003]

- William Langewiesche, the only journalist to have unrestricted access to Ground Zero during the cleanup operation, describes, “in the early days, the streams of molten metal that leaked from the hot cores and flowed down broken walls inside the foundation hole.” [Langewiesche, 2002, pp. 32]

- Leslie Robertson, one of the structural engineers responsible for the design of the WTC, describes fires still burning and molten steel still running 21 days after the attacks. [SEAU News, 10/2001 pdf file]

- Alison Geyh, who heads a team of scientists studying the potential health effects of 9/11, reports: “Fires are still actively burning and the smoke is very intense. In some pockets now being uncovered, they are finding molten steel.” [Johns Hopkins Public Health Magazine, 2001]

- Ron Burger, a public health advisor who arrives at Ground Zero on September 12, says that “feeling the heat” and “seeing the molten steel” there reminds him of a volcano. [National Environmental Health Association, 9/2003, pp. 40 pdf file]

- Paramedic Lee Turner arrives at the World Trade Center site on September 12 as a member of a federal urban search and rescue squad. While at Ground Zero, he goes “down crumpled stairwells to the subway, five levels below ground.” There he reportedly sees, “in the darkness a distant, pinkish glow—molten metal dripping from a beam.” [US News and World Report, 9/12/2002]

- According to a member of New York Air National Guard’s 109th Air Wing, who is at Ground Zero from September 22 to October 6: “One fireman told us that there was still molten steel at the heart of the towers’ remains. Firemen sprayed water to cool the debris down but the heat remained intense enough at the surface to melt their boots.” [National Guard Magazine, 12/2001]

- New York firefighters recall “heat so intense they encountered rivers of molten steel.” [New York Post, 3/3/2004]

- As late as five months after the attacks, in February 2002, firefighter Joe O’Toole sees a steel beam being lifted from deep underground at Ground Zero, which, he says, “was dripping from the molten steel.” [Knight Ridder, 5/29/2002]

Steven E. Jones, a physics professor from Utah, later will claim this molten metal is “direct evidence for the use of high-temperature explosives, such as thermite,” used to deliberately bring down the WTC towers. [MSNBC, 11/16/2005] He will say that without explosives, a falling building would have “insufficient directed energy to result in melting of large quantities of metal.” [Deseret Morning News, 11/10/2005] There is no mention whatsoever of the molten metal in the official reports by FEMA, NIST, or the 9/11 Commission. [Federal Emergency Management Agency, 5/1/2002; 9/11 Commission, 7/24/2004; National Institute of Standards and Technology, 9/2005 pdf file] But Dr. Frank Gayle, who leads the steel forensics aspects of NIST’s investigation of the WTC collapses, is quoted as saying: “Your gut reaction would be the jet fuel is what made the fire so very intense, a lot of people figured that’s what melted the steel. Indeed it didn’t, the steel did not melt.” [ABC News 7 (New York), 2/7/2004] As well as the reports of molten metal, data collected by NASA in the days after 9/11 finds dozens of “hot spots” (some over 1,300 degrees) at Ground Zero (see September 16-23, 2001).

http://www.historycommons.org/context.j … oltenmetal

(lien fonctionnel avec à l'intérieur tous les liens correspondants)

Je garde le sentiment d'une présentation de faits extravagante, et falsifiée. Si effectivement, et ça me semble évident à la lecture des témoignages et des travaux de Richard Gage et de Steven Jones, notamment, il y avait de la thermite, considérant qu'il en a été retrouvé dans les poussières du WTC (notamment communiquées à Steven Jones par des riverains qui en ont reçu chez eux), par quel vecteur ou support cette thermite a-t-elle été véhiculée dans la poussière ? Je n'ai certes pas de compétences en la matière, mais il ne m'a jamais été reproché de manquer de logique. Ce que je cherche à comprendre dans le raisonnement de Greman, c'est la notion d'énergie nécessaire pour deux dynamiques opposées (effondrement et projection), et l'impact de l'une sur l'autre. Quant aux calculs, ils dépassent largement ma compétence, mais plus il y aura de regards professionnels, mieux ce sera.

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#30 19-11-2008 01:47:11

Nicole
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Greman nous dit dans son 2° message :

"...Par contre c'est un modèle extrêmement puissant: en fin de chute on arrive à des puissances 3, 4 fois supérieures à celle qu'il faut pour pulvériser de l'acier.

Et là bizarrement on nous dit que l'acier n'a pas été pulvérisé mais simplement courbé.

Donc il y a des prouesses qu'il devrait accomplir du fait de sa puissance et il ne les accomplit pas, et il y a des prouesses qu'il ne devrait pas accomplir du fait d'un manque d'énergie, et il les accomplit!..."

Moorea nous indique dans son premier message :

"...D’abord la notion de « pulvérisation » de l’acier est assez révolutionnaire… Si le béton est pulvérisé, c’est tout simplement parce que c’est un matériau à rupture fragile, sensible aux chocs, alors que l’acier est un matériau ductile…"

Ce qui est sans compter sur Super Kesor :

"F7.11 - BARREAUX TRAITES RECTIFIES

"BLUE TRANSFERT" BARREAUX CARRES - RONDS - MEPLATS - TRAPEZOIDAUX : Acier rapide surcarburé 8% cobalt. Recommandé pour usinage d'ébauche et de finition à grande vitesse des pièces dures. Travaux sur tours automatiques - décolletage d'aciers au soufre, usinage des aciers réfractaires, inox et alliages légers.

"SUPER KESOR" BARREAUX CARRES - RONDS AVEC ou SANS EMBREVEMENT - MEPLATS : ces barreaux frittés obtenus par pulvérisation de l'acier en fusion présentent une résistance à l'usure et à l'échauffement supérieure à celle des barreaux surcarburés traditionnels. De plus la vitesse de coupe peut-être augmentée jusqu'à 40% suivant les cas et l'avance jusqu'à 2 fois.

http://www.azstudio.biz/mecanicworker/a … p;catid=38

Je suis pas scientifique, mais si une société produit et commercialise des barreaux produits par pulvérisation de l'acier en fusion (soit dit en passant, il me semble bien que l'acier du WTC était en fusion), je ne crois pas qu'on puisse dire que la pulvérisation de l'acier est "assez révolutionnaire".


Par ailleurs, Moorea nous indique que Greman aurait pris la même formule pour l'acier et le béton. Il n'en est rien.

"taper: interx(1451490,305.4( -(742506/2)x^(-2) +(6.54/2)x) sqrt(-742506x^(-2) + 6.54x),0,360)

Et nous obtenons X=84.5 soit x=84.5 - 52.5=32m.
pour le béton


interx(5805960,305.4( -(742506/2)x^(-2) +(6.54/2)x) sqrt(-742506x^(-2) + 6.54x),0,360)

soit X=176.5 donc x=176.5 - 52.5=124 m"
pour l'acier.

Dernière modification par Nicole (19-11-2008 01:55:21)

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#31 19-11-2008 01:47:23

davaro
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

moorea34 a écrit:

Enfin, concernant les puissances, j’avoue que là ça ne ressemble… à rien de ce qui m’ait été donné de voir !!! Je m’inquiète un peu car je ne trouve pas  de sens physique à l’introduction de cette puissance de pulvérisation par m² … par la suite, elle est appliquée à 1m² de surface de tour… D’accord à la limité pour le béton,  mais comme c’est la même formule qui est utilisée pour l’acier : interx(580…..etc) cela voudrait dire qu’en terme de surface, on aurait la même quantité de béton et d’acier par m² de tour !!?? Bizarre, très bizarre ….. Cela dépend forcément de la densité de ce béton ou de cet acier dans la structure ! Où est-ce que c’est pris en compte dans le calcul ?? Cela mérite des explications complémentaires..[/

Je t'ai deja dit sur un autre forum que l'explication officiel ne tient pas la route avec des calculs simplifiés sur une tour homogène du premier au dernier étage . Alors encore moins avec une tour constituée en 3 parties distinctes ,  et de plus, ces tours , malgré leur forme rectiligne,  étaient fichues un peu comme une tour eiffel d'un point de vue répartition des masses.

cela correspond à l'idée intuitive que si l'on ne peut fendre  une bûche de 10 cm au mieux avec une hache , va t'on essayer sur une buche de 20 cm ? roll

Prouves nous via ton site qu'il est possible par la science que 3 tours d'acier et béton soient tombees toutes droites sur elles-mêmes à des vitesses proches de la chute libre sans rencontrer aucune résistance de leurs bases intactes

Dernière modification par davaro (20-11-2008 01:57:39)

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#32 19-11-2008 06:29:30

Keussèje
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent


    Dans la version que voici du texte de GreMan, destinée à un repérage plus aisé, une division en onze sections a été introduite. Des espacements ont été modifiés : blancs entre les lignes et à l'intérieur. Cela mis à part, pas un caractère n'a été changé.

I.  Introduction

    Nous allons étudier le modèle du "pancake", un des modèles officiels pour expliquer l'effondrement des tours du WTC.
    Nous allons commencer par le modèle le plus simple c'est à dire celui où toute la masse reste dans l'empreinte de la tour, dans ce modèle il n'y a donc pas d'expulsion de matière et de nuage de poussières. Modèle incomplet, puisque dans la réalité d'énormes quantités de poussières et de débris ont été propulsés dans les airs au cours de la chute, mais modèle préliminaire et préalable à des modèles plus complexes.
    Nous verrons par la suite que la quantité de matière expulsée au cours de la chute est d'une importance capitale pour valider ou non le modèle.
    Comme méthode de calcul nous utiliserons le calcul intégral et différentiel.

II.  Chute sans pulvérisation

    Voilà les données du modèle: la tour nord est modélisée comme un parallélépipède de surface S et de masse volumique k. Initialement un bloc d'étages de masse m0 tombe à la vitesse v0 sur les étages inférieurs.
    A chaque choc nous pouvons écrire que la variation de la quantité de mouvement par unité de temps est égale à la somme des forces extérieures s'exerçant sur le système, soit:
d(mv)/dt = mg où g est la valeur du champ de gravité.
soit mdv + vdm = mgdt
    Or durant l'intervalle de temps dt, le bloc de masse m collisionne avec une masse kSdx, où dx est la distance parcourue à vitesse v par le bloc pendant dt. Le choc est un choc mou, la masse percutée kSdx reste accrochée au bloc.

    Donc:
dm = kSdx
dt = dx/v
et mvdv + (v^2)kSdx = mgdx
avec m = m0 + kSx (à x = 0, m = m0)
posons h0 = m0/(kS) et divisons cette équation par kS ; nous obtenons:
(h0+x)vdv + (v^2)dx = (h0+x)gdx
    Posons f = v^2, alors df = 2vdv.
    Nous obtenons alors une équation différentielle du première ordre avec second membre:
(1/2)(h0+x)df/dx + f = g(h0+x)

    Résolvons l'équation sans second membre
soit: (1/2)(h0+x)df/dx + f = 0
df/f = - 2dx/(h0+x)
ln(f/f0) = - 2ln(h0+x/h0)
f = f0(h0/(h0+x))^2 avec f0 = v0^2
f = (v0h0/(h0+x))^2
    Employons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière:
dK/dx = g(h0+x)/(((h0+x)/2)(v0h0/(h0 x))^2) = 2g(h0+x)^2/((v0h0)^2)
K(x) = 2g(h0+x)^3/(3(v0h0)^2)) + constante
(la solution particulière étant K(x)f(x) où f(x) est la solution sans second membre).
    La solution générale qui est la solution sans second membre plus la solution particulière est donc:
f = ((v0h0)/(h0+x))^2(1 + 2g(h0+x)^3/(3(v0h0)^2)) + constante)
    Pour x = 0, f = v0^2 d'où constante = - 2gh0/(3v0^2).
    Finalement:
v = (v0h0/(h0+x))sqrt(1 - 2gh0/(3v0^2) + 2g(h0+x)^3/(3(v0h0)^2) )

    Application numérique:
v0 = 8.6 m/s (vitesse acquise après avoir chuté d'un étage de 3.75 m)
h0 = 52.5 m (bloc initial de 14 étages)
g = 9.81 m/s^2
x = 360 m (chute d'une hauteur de 96 étages)
v = 51.9 m/s (vitesse de fin de chute)

    Nous allons maintenant maintenant calculer le temps de chute:
il s'agit donc de calculer l'intégrale de dt = dx/v pour x variant de 0 à 360.
    Posons: A = (2g/(3(v0h0)^2))^(1/3), B = (2gh0/(3v0^2) - 1)^(1/3)
    Effectuons le changement de variable X = (A/B)(h0+x)
    Nous sommes alors ramené au calcul de l'intégrale: sqrt(B)/(v0h0A^2) fois l'intégrale de X/sqrt(X^3-1) pour X variant de (A/B)h0 à (A/B)(h0+360).

    Numériquement: 2.72 fois l'intégrale de X/sqrt(X^3-1) pour X variant de 1.08 à 8.5.
    Il existe un moyen assez calculatoire pour obtenir une bonne approximation de cette intégrale.
    Puisqu'on est sur un intervalle de convergence uniforme on peut développer en série entière l'expression x(x^3 - 1)^(-1/2) et ensuite intégrer pour obtenir le développement en série entière d'une primitive.
    Mais pour gagner du temps nous allons utiliser le logiciel Graphe Easy 2.26 téléchargeable gratuitement, et dont nous aurons également besoin ultérieurement.
    Dans la partie calculatrice de ce logiciel taper la commande: Integrale(0,x/sqrt(x^3-1),1.08,8.5)
    On obtient 4.005
    Donc le temps de chute est 2.72 x 4.005 = 10.9 s.

III.  Théorie de la chute avec pulvérisation et expulsion

    Maintenant nous allons intégrer dans le modèle la pulvérisation et l'expulsion de matériau. A savoir que la variation d'énergie mécanique du système est employée d'une part pour pulvériser le matériau et d'autre part pour l'expulser.
    Soit j la quantité d'énergie nécessaire pour pulvériser un kg de matériau.
    Soit dp la quantité de poussière pulvérisée, soit w sa vitesse d'éjection.
    Entre x et x + dx l'énergie mécanique du système a varié de d((1/2)mv^2) -  mgdx = mvdv + (1/2)(v^2)dm - mgdx.
    Cette variation est négative, le différentiel d'énergie ayant servi à la pulvérisation du matériau et à son éjection.
    Nous pouvons alors écrire l'égalité: (1/2)dp(w^2) + jdp = - mvdv - (1/2)(v^2)dm + mgdx.
    Or dm = kSdx - dp (masse percutée - masse éjectée)
    Posons m = kSh et divisons l'égalité par kS et par dx nous obtenons alors finalement l'équation différentielle suivante:
((3/2)v^2+j)dh/dx + (g - (1/2)d(v^2)/dx)h = 2v^2 + j (1)

    Ecrivons l'équation de la variation de la quantité de mouvement:
d(mv) + dpw = mgdx/v soit hdv + vdh + (dx - dh)w = hgdx/v  (*)
    Déterminons la vitesse d'éjection w:
le bloc de masse m pousse à vitesse v la poussière de masse dp du matériau pulvérisé, ce choc est élastique et l'on peut écrire:
mvdv + (1/2)dpw^2 = mgdl  (équation de la variation de l'énergie cinétique où dl est la distance parcourue par le bloc)
mdv + dpw = mgdl/v (équation de la variation de la quantité de mouvement) soit mvdv + vwdp = mgdl.
    En soustrayant les 2 égalités on obtient: (1/2)dpw^2 - vwdp = 0 donc w = 2v.
    Nous pouvons alors remplacer w par 2v dans (*) et nous obtenons alors une deuxième équation différentielle:
- v^2dh/dx + ((1/2)d(v^2)/dx - g)h = - 2v^2  (2)

    En posant f = v^2 on obtient ainsi deux équations différentielles couplées:
((3/2)f + j)dh/dx + (g - (1/2)df/dx)h = 2f + j (3)
- fdh/dx + ((1/2)df/dx - g)h = - 2f  (4)
    En additionnant (3) et (4): dh/dx = j/((1/2)f + j) (5)
    Et en reportant dans (4): h = (f^2 + jf)/((g - (1/2)df/dx)((1/2)f + j)) (6)
    Il suffit ensuite de dériver (6) et de l'égaler à (5)
    Nous obtenons alors l'équation différentielle du second ordre en f non linéaire suivante:
((1/4)f^3 + (3/4)jf^2 + (1/2)(j^2)f)d2f/d2x + ((-1/4)f^2 + (-9j/8)f + (-3j^2/4))(df/dx)^2 + ((g/2)f^2 + (5gj/2)f + 2gj^2)df/dx + (- jg^2/2)f + (- j^2g^2) = 0 (7)

    Pour obtenir l'équation du temps de chute il suffit de remplacer f par 1/(dt/dx)^2 puisque v = dx/dt, df/dx par -2(d2t/d2x)(dt/dx)^(-3) et d2f/d2x par -2(d3t/d3x)(dt/dx)^(-3) + 6(d2t/d2x)^2(dt/dx)^(-4).

    Etablissons également l'équation différentielle vérifiée par h. Pour cela il suffit de reprendre les équations (3) et (4) et d'écrire: f = 2(j - jdh/dx)/(dh/dx) et df/dx = - 2j (d2h/d2x)/((dh/dx)^2).
    Suivant le même procédé que précédemment, en dérivant la première équation et en l'égalant à l'autre on obtient:
jhd2h/d2x + (-2j)(dh/dx)^3 + (gh + 6j)(dh/dx)^2 - 4j(dh/dx)=0  (8)

    Nous avons donc l'équation différentielle du carré de la vitesse, l'équation différentielle du temps et l'équation différentielle de la masse à un coefficient multiplicatif près.
    Pour étudier ces équations différentielles non linéaires nous allons utiliser la fonctionnalité de résolution numérique des équations différentielles de Graphe Easy 2.26.
    Aller dans "Document" -> "New mathematical object" -> "Differential equations" -> "Numerical resolution".
    Pour obtenir une bonne précision, puisqu'il s'agit de l'algorithme d'Euler, c'est à dire que l'on construit pas à pas la solution, choisir "Points count"=10000.
    Suivant la syntaxe de ce logiciel nos 3 équations s'écrivent ainsi:
●    ( (1/4)y^3 + (3/4)jy^2 + (1/2)(j^2)y )y[2] + ( (-1/4)y^2 + (-9/8)jy + (-3/4)j^2 )(y[1]^2) + ( (1/2)gy^2 + (5/2)gjy + 2g(j^2) )y[1] + (-1/2)(g^2)jy -(g^2)(j^2) = 0 (carré de la vitesse)  (9)
●    ( (1/4)(y[1]^(-2))^3 + (3/4)j(y[1]^(-2))^2 + (1/2)(j^2)(y[1]^(-2)) )(-2y[3](y[1]^(-3)) + 6(y[2]^2)(y[1]^(-4))) + ( (-1/4)(y[1]^(-2))^2 + (-9/8)j(y[1]^(-2)) + (-3/4)j^2 )((-2y[2](y[1]^(-3)))^2) + ( (1/2)g(y[1]^(-2))^2 + (5/2)gj(y[1]^(-2)) + 2g(j^2) )(-2y[2](y[1]^(-3))) +
(-1/2)g^2)j(y[1]^(-2)) -(g^2)(j^2) = 0 (temps de chute) (10)
●    jyy[2] - 2j(y[1]^3) + (gy+6j)(y[1]^2) - 4jy[1] = 0 (masse à un coefficient multiplicatif près) (11)
où y[i] désigne la ième dérivée de y.
j est un paramètre que nous allons faire varier et g une constante (= 9.81). (Voir -> "Document" -> "New parameter" et "New constant").
    Pour chacune des équations les conditions initiales (déduites des équations (3) et (4)) sont les suivantes:
(9)  x = 0, y = 73.96, y[1] = 2(g - ( 5470.08 + 73.96j)/(52.5(36.98+j)))
(10) x = 0, y = 0, y[1] = 0.116, y[2] = -0.0015(g - (5470.08 + 73.96j)/(52.5(36.98 + j)))
(11) x = 0, y = 52.5, y[1]=j/(36.98 + j)

IV.  Chute pour j = 865 J/Kg

    Rappelons que j représente la quantité d'énergie requise pour pulvériser un kg de matériau.
    Le professeur Bazant de la FEMA écrit dans son rapport (http://www.scribd.com/doc/295112/Zdenek … e-Analysis):
"...the dissipation of about 865 J per kg of pulverized concrete, which is a realistic value"
    Nous verrons ultérieurement que cette valeur de 865 joules pour pulvériser 1 kg de béton est ridiculement basse, mais que si il s'agit d'une valeur moyenne c'est à dire la valeur pour pulvériser 1 kg de matériau du WTC, sachant que le WTC est chargé avec des matériaux beaucoup moins solide que le béton (bois, plastique etc...) cette valeur est éventuellement acceptable.

    Prenons donc j = 865 joules ; les résultats du calcul informatique sont les suivants:
f = 1616.5 soit v = 40.2 m/s
t = 12.88 s
h = 284.03 soit (284.03/(412.5))*100 = 68.85 % de la masse initiale
    Par rapport au résultat précédent où toute la masse restait dans l'empreinte, nous voyons donc que la perte d'1/3 de la masse implique un allongement du temps de chute de 18 % et un ralentissement de la vitesse de fin de chute de 29 % .

V. Chute pour j = 8650 J/Kg

    Mais le NIST (National Institute of Standards and Technology) déclare dans son FAQ n°6 :
"NIST estimated the elapsed times for the first exterior panels to strike the ground after the collapse initiated in each of the towers to be approximately 11 seconds for WTC 1 and approximately 9 seconds for WTC 2. These elapsed times were based on: (1) precise timing of the initiation of collapse from video evidence, and (2) ground motion (seismic) signals recorded at Palisades, N.Y., that also were precisely time-calibrated for wave transmission times from lower Manhattan (see NCSTAR 1-5A)."
    Le temps de chute réel est donc beaucoup plus près d'un temps de chute avec conservation de la masse dans l'empreinte que d'un temps de chute avec éjection de matériau et perte de masse.

    Prenons par exemple une valeur de j 10 fois plus grande: j = 8650.
    Nous obtenons alors:
f = 2441.63 soit v = 49.41m/S
t = 11.52 s
h = 386.09
    Donc là nous obtenons un temps plus proche du temps de chute réelle mais par contre nous n'avons une perte de masse que de 6.4 %.

VI.  Estimation des éjections

    Voilà pourquoi la question de savoir quelle proportion de masse a été envoyée dans les airs avant que le bloc touche le sol est capitale: si ce n'est que 6 % de la masse ça peut encore coller avec le temps, sinon y a un blême, en tout cas le (1/3) de la masse envoyée dans les airs est incompatible avec un temps de chute avoisinant les 11 s. Pourtant Bazant de la FEMA déclare:
    "About 67 % of the mass of all slabs and core walls gets pulverized into dust during the crush-down, which explains the dust clouds seen jetting out" (http://www.scribd.com/doc/295112/Zdenek … e-Analysis)
    Traduit en bon français: "A peu près 67 % de la masse de toutes les dalles et de tous les mûrs porteurs sont pulvérisés en poussières durant l'effondrement, ce qui explique les jets de poussières".
    Sachant que Bazant considère qu'une tour pèse 500 000 tonnes, que la quantité de béton par tour est de 425 000/2 cubic yards, qu'un cubic yard de béton pèse au minimum 1000 kgs, soit au minimum 212 500 tonnes de béton par tour (voir http://www.infoplease.com/spot/wtc1.html), cela fait 67 % de 212 500 = 142 375, soit 28.5 % de la masse totale au bas-mot.A rajouter à cela la masse perdue du chargement (accessoires, bureaux, etc...)

    Pour sauver le modèle on pourrait se dire que relativement très peu de masse a éte éjectée durant l'effondrement de sorte que le temps de chute avoisine les 11 s, et que la plus grosse proportion de masse éjectée l'a été au moment du choc avec le sol. Mais cette alternative n'est pas tenable car sous la tour il y a encore 6 sous-sols, donc l'effondrement se poursuit souterrainement, la poussière restant confinée comme dans un puit. Rien que les sous-sols à eux-seuls représentent une vingtaine de mètres en dessous du sol et d'après le témoignage de Tinsley de Pyrocool, société mandatée pour éteindre le feu souterrain:
    "The combustible debris is mixed with twisted steel in a mass that covers 17 acres, and may be 50 metres deep. This is the one all future fire scenes will be measured against."
http://www.newscientist.com/article/dn1634

    Pour sauver le modèle on peut encore se dire que ma foi il n'y a eu après tout que 6 % de masse éjectée, mais cela suppose une valeur de j anormalement élevée (8650 joules, plus élevée que l'énergie requise pour pulvériser un kg de béton comme nous le verrons), mais surtout cela ne colle pas du tout avec les faits. Si l'on part d'une masse de 500 000 tonnes, 6 % cela fait 30 000 tonnes. 30 000 tonnes pour une tour.
    Mais dans le "Chemical & Engineering News" est rapporté que: "With the collapse of New York City's two World Trade Center (WTC) towers on Sept. 11, 2001, more than 1 million tons of dust enveloped lower Manhattan"
http://pubs.acs.org/cen/NCW/8142aerosols.html
1 million de tonnes de poussières enveloppant le bas de Manahttan.
    Sachant que 3 tours se sont effondrées, cela fait grosso modo 333 000 tonnes par tour.
    Impossible donc de sauver le modèle de cette manière-là.

    Je n'entrerais pas ici dans la problématique de la détermination de la masse du nuage de poussière, peut-être ultérieurement. Je n'indiquerais ici que quelques pistes pour réaliser cette évaluation:
    Pour avoir un ordre de comparaison en terme de poids, de dimension et de densité:
    "Avec une densité d’environ 0,2 g/m3, un cirrus de 1 kilomètre peut peser jusqu’à 200 tonnes. De son côté, un nuage d’orage (cumulonimbus) peut atteindre un poids de 1 million de tonnes puisqu’il peut contenir une densité d’eau de 1 gramme par mètre cube. Pourvu que le ciel ne nous tombe pas sur la tête!"
http://www.radio-canada.ca/nouvelles/do … eo/01.html
    Pour avoir un ordre d'idée concernant la criticité d'une densité de poussière:
"la valeur limite en poussières des émissions gazeuses en provenance d'installations autres que celles mentionnées aux 2, 3, et 4 du présent article est 30 mg/m3 ".
http://aida.ineris.fr/textes/arretes/text0333.htm
    Pour comprendre le lien entre opacité et densité:
http://www.ec.gc.ca/cleanair-airpur/cao … y_S6_f.cfm

VII.  Chute pour j = 5235 J/Kg

    Pour l'heure évaluons la quantité d'énergie requise pour pulvériser 1kg de béton par percussion.
    Utilisons les informations sur les caractéristiques techniques du Bosch GSH 11 E
http://www.outilonline.com:80/marteaupiqueur.html
    Pour le béton la fréquence de frappe minimum est de 1710 coups/mn avec une énergie de percussion de 25 joules, soit 1710*25*60=2565000 joules/heure.
    Et en une heure il enlève 490 kgs, soit 2565000 / 490 = 5235 joules pour 1 kg.
    Donc si la tour était à vide et étant donné que l'acier n'est pas pulvérisé, la valeur de j serait de 5235 et l'on obtiendrait les résultats suivants:
f = 2318.5 soit v = 48.14 m/s
t = 11.51 s
h = 372.45 soit 90.3 % de la masse initiale. A vide il ne reste plus que l'acier et le béton soit une masse totale de 100 000 (tonnes d'acier) + 212 500 (tonnes de béton) = 312 500 tonnes, donc 30 312.5 tonnes de béton projeté, soit 14,26% de la masse de béton initiale.
    Il s'agit de la masse maximum de béton pouvant être projetée, car le fait de rajouter un chargement implique une répartition de l'énergie entre les divers matériaux.
    Or comme nous l'avons vu pour coller aux faits il faudrait que ce modèle puisse projeter 333 000 - 187500 (chargement) = 145 500 tonnes de béton, soit 68.5 % de la masse initiale de béton.
 
VIII.  Puissance de pulvérisation du béton

    Passons maintenant aux calculs de puissance. En effet nous avons supposé jusque-là que le modèle développait une puissance suffisante pour pulvériser le béton dès les premiers étages, mais nous ne l'avons pas prouvé.
    Evaluons la puissance par unité de surface, nécessaire pour pulvériser du béton par percussion.
    Nous avons vu précédemment que le Bosch GSH 11 E avec une fréquence de frappe minimum pour du béton fournissait 2565000 joules en 1 heure, soit 2565000/3600 = 712.5 Watts.
    Le burin plat fait 25 mm de diamètre (http://www.outilonline.com:80/catalog/m … -p-43.html)
    Cela fait donc une puissance par unité de surface de 712.5/(3.1416*0.0125^2) = 1 451 490 W/m^2.
    Evaluons maintenant la puissance développée par le système par unité de surface.
    Reprenons les expressions de la masse/kS et de la vitesse du début (sans faire intervenir le paramètre j):
h = h0 + x
v^2 = v = (v0h0/(h0+x))^2( 1 - 2gh0/(3v0^2) + 2g(h0+x)^3/(3(v0h0)^2) )
    Posons A = (v0h0)^2(1 - 2gh0/(3v0^2)), B = 2g/3, X = h0 + x
h = X, v^2 = A/X^2 + BX, dx = dX
    L'énergie cinétique par unité de surface est donc: Ec/S = (1/2)kX(A/X^2 + BX) = k/2(A/X + BX^2).
    La variation d'énergie cinétique par unité de surface s'écrit donc: d(Ec/S)=k(-A/(2X^2) + BX)dX
    A cela ajoutons la variation d'énergie potentielle par unité de surface, soit d(Ep/S)=-khgdx=-kgXdX
    Et nous obtenons la variation d'énergie mécanique par unité de surface: d(E/S) = k(-A/(2X^2) + BX - gX)dX
B - g = 2g/3 - g = - g/3 = - B/2
d(E/S) = k(-A/(2X^2) - (B/2)X))dX
    La puissance par unité de surface est donnée par d(E/S)/dt = (d(E/S)/dX)dX/dt = kv(-A/(2X^2) - (B/2)X)) = - k(sqrt(A/X^2 + BX))(A/(2X^2) + (B/2)X)
    Le signe (-) s'explique parce que c'est de l'énergie cédée.

    Numériquement:
    Si l'on suppose que la tour pèse 500 000 000 kgs, sa surface = 63^2=3969 m^2, sa hauteur 412.5 on obtient une masse volumique k de 500 000 000/(412.5*3969) = 305.4 kg/m^3
A = - 742 506, B = 6.54.
    Nous allons maintenant résoudre le problème de savoir à partir de quelle valeur de X la puissance du système par unité de surface atteint la puissance de pulvérisation du béton par unité de surface.
    Pour cela nous allons utiliser la fonctionnalité d'intersection de courbes de la calculatrice de Graphe Easy:
taper: interx(1451490,305.4( -(742506/2)x^(-2) +(6.54/2)x) sqrt(-742506x^(-2) + 6.54x),0,360)
    Et nous obtenons X = 84.5 soit x = 84.5 - 52.5 = 32 m.
    Après avoir parcouru 32 m, soit un effondrement de 8 étages et demi, soit 8.8 % du parcours, soit après avoir atteint une vitesse de 20.8 m/s et un accroissement de masse de 60 %, soit après environ 2 secondes de chute, la puissance de pulvérisation du béton est atteinte.

IX.  Puissance de pulvérisation de l'acier

    Je n'entrerais pas ici dans la polémique de savoir si dès le "tout début" de la poussière de béton a été aperçue, ou depuis simplement le "début" de la chute.
    Par contre qu'en est-il de l'acier?
    Dans le "Chemical & Engineering News" nous trouvons ceci:
    "The only thing that didn't get pulverized was the WTC towers' 200000 tons of structural steel. That was just bent, Meeker said" (http://pubs.acs.org/cen/NCW/8142aerosols.html)
    L'acier n'a donc pas été pulvérisé, il a simplement été courbé.
    Pour déterminer la puissance de pulvérisation de l'acier regardons les différences de perçage entre l'acier et le béton: http://www.aeg-pt.com:80/internet/AEG_P … enDocument
    Nous voyons que le diamètre de perçage dans l'acier est exactement 2 fois plus petit que celui dans du béton, c'est à dire que la puissance est concentrée sur une surface 4 fois plus petite. Par conséquent la puissance de pulvérisation de l'acier par unité de surface est 4 fois supérieure à celle du béton, soit 1451490*4 = 5805960 W/m^2.
    De même que pour le béton cherchons la valeur de X pour laquelle cette puissance est atteinte:
interx(5805960,305.4( -(742506/2)x^(-2) +(6.54/2)x) sqrt(-742506x^(-2) + 6.54x),0,360)
soit X = 176.5 ; donc x = 176.5 - 52.5 = 124 m.
    Après avoir chuté de 32 étages la puissance de pulvérisation de l'acier est donc atteinte, et il reste encore la hauteur de 64 étages à parcourir.

X.  Introduction de la résistance de la structure

    Comment se fait-il donc que l'acier ait été simplement déformé et qu'il n'y ait pas eu de poussière d'acier ? (les particules de métal retrouvées dans les poussières provenaient du matériel des bureaux et PC(s))
    Jusqu'à présent nous avons considéré que la résistance de la structure porteuse était inexistante. Mais pour expliquer la préservation de l'acier, nous pouvons émettre l'hypothèse contraire, tout au moins à partir de 124 mètres, à savoir que la structure porteuse a opposé une résistance et que la puissance n'a par conséquent pas dépassé le seuil de la pulvérisation de l'acier.
    A partir de 124 mètres les équations sont alors les suivantes.
    L'équation précédente de la variation de la quantité de mouvement n'est plus valable car il faut désormais prendre en compte la force de résistance de la structure porteuse.
    L'équation du bilan énergétique est toujours valable, mais il faut désormais y introduire la contrainte de limitation de puissance:
(1/2)dpw^2 + jdp = - mvdv - (1/2)(v^2)dm + mgdx = WSdt = WSdx/v où W est la puissance de pulvérisation de l'acier par unité de surface.
    Ce que l'on peut aussi écrire sous formes de 2 équations:
(1/2)dpw^2 + jdp = WSdx/v soit (1/2)(dx - dh)(4v^2) + j (dx - dh) = (W/k)/v d'où dh/dx = (2v^3+jv - W/k)/(2v^3+jv).   
    Posons w = W/k (w ne désigne donc plus la vitesse d'éjection de la poussière),
dh/dx = (2v^3+jv-w)/(2v^3+jv) (12)
- mvdv - (1/2)(v^2)dm + mgdx = Wdx/v soit - vhdv/dx - (1/2)v^2dh/dx + hg = w/v
Donc en remplaçant dh/dx par l'expression trouvée en (12) on obtient finalement
h = (2v^5+jv^3+3wv^2+2jw)/((4v^3+2jv)(g-vdv/dx)) (13)
    En dérivant (13) par rapport à x et en l'égalant à (12) on obtient l'équation différentielle régissant la vitesse:
(8v^9+8jv^7+12wv^6+2(j^2)v^5+14jwv^4+4(j^2)wv^2)d2v/d2x + (-8v^8-8jv^6-2(j^2)v^4+20wv^5+18jwv^3+4(j^2)wv)(dv/dx)^2 + (-16v^8+32gv^7-16jv^6+32gjv^5+12wv^5-16gwv^4-4(j^2)v^4+8g(j^2)v^3+18jwv^3-8gjwv^2+4(j^2)wv)dv/dx+16gv^7-16(g^2)v^6+16gjv^5-16(g^2)jv^4-12gwv^4+8(g^2)wv^3+4g(j^2)v^3-4(g^2)(j^2)v^2-18jwgv^2+4jw(g^2)v-4g(j^2)v = 0
    Résolvons la numériquement avec Graphe Easy:
w=5805960/305.4=19011 et pour j=5235
(8y^9+8jy^7+12wy^6+2(j^2)y^5+14jwy^4+4(j^2)wy^2)y[2] + (-8y^8-8jy^6-2(j^2)y^4+20wy^5+18jwy^3+4(j^2)wy)(y[1]^2) + (-16y^8+32gy^7-16jy^6+32gjy^5+12wy^5-16gwy^4-4(j^2)y^4+8g(j^2)y^3+18jwy^3-8gjwy^2+4(j^2)wy)y[1]+16gy^7-16(g^2)y^6+16gjy^5-16(g^2)jy^4-12gwy^4+8(g^2)wy^3+4g(j^2)y^3-4(g^2)(j^2)y^2-18jwgy^2+4jw(g^2)y-4g(j^2)w = 0
avec comme conditions initiales x = 124, y = 33.6, y[1] = 0.1

    On trouve v = 31.23 m/s. La vitesse reste donc inférieure à 33.6 m/s de 124 à 360 m, il faut donc plus de 7 secondes pour parcourir la distance restante, sachant qu'il en faut 5.5 si l'on ne tient pas compte de la résistance et du paramètre j.
    Et si l'on calcule la valeur de h finale à l'aide de (13) et de Graphe Easy qui nous fournit dv/dx en fin de chute (faire click droit -> "Résultat" sur l'objet mathématique) on trouve: h=128, c'est à dire que 69 % de la masse a été pulvérisée et envoyée dans les airs, soit 345 000 tonnes.
    Le fait de tenir compte de la résistance de la structure porteuse permet donc d'expliquer pourquoi l'acier n'a pas été pulvérisé et pourquoi des centaines de milliers de tonnes de matière par tour ont été envoyées dans les airs (la variation de l'énergie mécanique étant beaucoup plus grande du fait de brusques décélérations, cela correspond à l'idée intuitive que l'on fend mieux une bûche sur un support résistant que sur un support qui cède immédiatement). 
    Mais les vitesses sont beaucoup plus lentes (31.23 m/s en fin de chute au lieu de 51.9) et le temps de chute est allongé d'au moins 13 %. (cela correspond à l'idée intuitive qu'un bon support stoppe la hâche dans sa course)

XI.  Conclusion

    En conclusion il est impossible de concilier une chute aussi rapide avec autant de masse projetée, c'est soit l'un, soit l'autre mais c'est pas les deux à la fois, ou alors il faut faire appel à une autre source d'énergie pour expliquer la projection de matière, qui dans ce cas-là n'affecterait pas la vitesse de chute et réduirait considérablement la puissance développée (puisque le bloc chutant aurait une masse beaucoup plus faible), ce qui expliquerait la non-pulvérisation de l'acier.

Dernière modification par Keussèje (19-11-2008 06:30:57)

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#33 19-11-2008 07:22:32

charmord
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Encore une fois cette question :

Peut-on déduire de ce passage du Nist :

"NIST estimated the elapsed times for the first exterior panels to strike the ground after the collapse initiated in each of the towers to be approximately 11 seconds for WTC 1 and approximately 9 seconds for WTC 2. These elapsed times were based on: (1) precise timing of the initiation of collapse from video evidence, and (2) ground motion (seismic) signals recorded at Palisades, N.Y., that also were precisely time-calibrated for wave transmission times from lower Manhattan (see NCSTAR 1-5A)."

que :

Le temps de chute réel est donc beaucoup plus près d'un temps de chute avec conservation de la masse dans l'empreinte que d'un temps de chute avec éjection de matériau et perte de masse.

(citation de Greman)

Est-ce que le temps qu'a mis le "first panels of the exterior tower" pour heurter le sol est-il un indicateur correct du temps de chute réel?

Certaines personnes sur ce forum estiment que lorsque l'on regarde les images des tours qui s'effondrent, le gros du matériau pulvérisé heurte le sol non pas 11 secondes mais bien près de 15 secondes après.

GreMan pourrais-tu nous indiquer si, à supposer que l'on retienne un tel temps de chute réel, les conlusions que tu tires de tes calculs seraient-ils fondamentalement modifiés?

NB : Je me fais volontairement l'avocat du diable mais c'est pour tenter de blinder ton raisonnement par rapport à de plus que potentielles attaques de debunker comme le Batiston


La manière la plus sûre de corrompre une jeunesse est de l'instruire a tenir en plus haute estime ceux qui pensent de même que ceux qui pensent différemment."

Friedrich Nietzsche

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#34 19-11-2008 08:14:20

Keussèje
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

charmord a écrit:

Certaines personnes sur ce forum estiment que lorsque l'on regarde les images des tours qui s'effondrent, le gros du matériau pulvérisé heurte le sol non pas 11 secondes mais bien près de 15 secondes après.

C'est bien là, en effet, le premier problème dans la relation du modèle à la réalité. Tout en laissant à GreMan le soin de donner sa réponse, je voudrais rappeler que la question de la durée de la chute, avant d'être une affaire de chiffres, est un problème de définition.

Quel est le système dont on considère le mouvement, la position, la vitesse, l'accélération ? S'il ne s'agit pas d'un point, il faut prendre le centre de masse (d'inertie, de gravité). Or deux difficultés (au moins) se présentent dans le cas des Tours :
- l'éventuelle prise en compte du reliquat de noyau ;
- l'expulsion du béton, dont la masse peut plus malaisément être négligée.
Peut-on dire, pour reprendre la formulation citée, que "le gros du matériau pulvérisé heurte le sol (...)" ?

"NIST estimated the elapsed times for the first exterior panels to strike the ground after the collapse initiated in each of the towers to be approximately 11 seconds for WTC 1 and approximately 9 seconds for WTC 2. These elapsed times were based on: (1) precise timing of the initiation of collapse from video evidence, and (2) ground motion (seismic) signals recorded at Palisades, N.Y., that also were precisely time-calibrated for wave transmission times from lower Manhattan (see NCSTAR 1-5A)."

Certains lecteurs, peut-être, apprécieraient une traduction, ou du moins une synthèse en français, charmord. N'est-ce pas l'une des fonctions de ce site ?

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#35 19-11-2008 13:59:52

moorea34
Invité

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Nicole :

- Votre premier lien est inactif,
Désolé, un point intempestif s’est inséré en fin de lien      http://www.911myths.com/WTCREPORT.pdf
- Le second n'apparaît pas sur votre site, bastison.net.
C’est sûr car j’alimente mon site au gré de mes recherches, qui sont faites le soir et le WE, et comme j’ai aussi une vie par ailleurs, tout ça, je le reconnais n’avance pas très vite… Pour ce second lien, regardez à la page 124, vous trouverez toutes les infos concernant la formulation dont je parle… l’article de Bazant explique la formule à partir d’un calage sur 238 tests… La formule de l’Euro-International du Béton donne même des valeurs inférieures à celles de Bazant pour celles que j’ai pu tester et qui me semblaient réalistes…
- l’équation …
Pour l’équation, désolé de vous contredire, mais c’est bien la même. Seul le point d’intersection recherché a changé, pas le second membre…
- La pulvérisation de l’acier :
Ne confondons pas processus de fabrication ou d’usinage et un choc entre matériaux, vous comprendrez aisément que ce n’est pas du tout le même pan de la mécanique qui est mis en jeu… Le meilleur exemple est une voiture qui s’écrase contre un mur en béton armé (à supposer que la voiture ne soit constitué que d’acier) : le mur va éclater à l’endroit de l’impact (pulvérisation plus ou moins fine) mais l’acier lui va se tordre pas se ‘pulvériser’…

Charmord :

Je me demandais aussi s'il était possible de quantifier la déperdition de l'énergie cinétique généré par la pulvbérisation du béton au cours du processus de collapse. Cette déperdition a-t-elle été calculée par les auteurs qui se sont attaqués à la question? N'induit-elle pas une nécessaire décélération du front d'effondrement qui n'est pas constatée empiriquement?

C’est ce qui a été fait par Greening dans l’article cité plus haut de façon très simple et très compréhensible.
Prenons sa modélisation et traitons la complètement avec de nouvelles données : les particules sont supposées être des petits cubes  de  0.1 mm de côté…   (100 micro-mètres)
Toutes les faces du dé sont issues d’une fracturation donc la surface totale des faces est égale à 6 (faces) * (0.1*0.1) = 0.06 mm²  soit    (0,06*10e-6) m²
L’énergie pour générer cette particule a donc été de (0,06*10e-6) * 20 J (voir plus haut) = 1,2*10e-6 J

(…attention ce choix est contestable car lorsqu’on sépare une particule en deux avec la quantité d’énergie donnée, on crée DEUX surfaces fracturées… grossièrement (c'est-à-dire aux bords près) les surfaces sont donc comptées deux fois par Greening… de toute façon, cela ne pose pas de problème puisque cela  conduit à surestimer l’énergie nécessaire. A la limite, on peut augmenter l’énergie nécessaire à 40 J et dire que seules 3 surfaces sur les six sont évaluées, le résultat sera le même et cela ira dans le sens de ceux qui trouvent la valeur de 20 J trop faible… Ou encore réduire la taille des particules à 0.05 mm en gardant 20 J… Quoiqu’il en soit, l’ordre de grandeur est là)

La masse de cette particule étant de      (0.1*0.1*0.1)*10e-9   (volume) * 1500 (kg/m3) = 1,5*10e-9 kg
Comme on s’intéresse à 1kg de béton cela veut dire qu’il y a   1/(1,5*10e-9)= 666*10e+6 particules par kg
L’énergie pour générer toutes ces particules est donc de   1,2x10e-6 * 666x10e+6 =  800 J / kg   ce qui avoisine la valeur proposée par bazant qui lui raisonne sur des tailles de particules variables, par de 20 J /m²  et trouve 867 au final.
Connaissant la masse totale de béton pour une tour (cela varie de 50 000 T à  200 000 T selon les auteurs) cela permet de déterminer l’énergie totale à prévoir pour pulvériser tout le béton d’une tour :  de   4*10e10 à 16*10e10 Joules    (1T  = 1000 kg)

(Calcul rapide : 110 étages de 4000 m² à 10cm de béton donne 44000 m3… * 1500kg/m3, j’arrive personnellement grossièrement à 66 000 Tonnes… Allez soyons large, comptons 100 000 ….  Cela correspond  à  8*10e10 Joules)

A ce niveau là d’énergie on perd toute notion de physique. Il faut donc comparer cela à l’énergie potentielle (ou gravitationnelle) d’une tour qui est estimée à   1*10e12  Joules  pour 500 000 Tonnes   
Même en prenant la fourchette basse de la masse estimée (300 000 Tonnes soit 6*10e11 Joules)… on arrive à seulement     8*10e10 / 6*10e11 =  13 % de l’énergie totale suffisante pour pulvériser le béton (tout le béton et en prenant sa fourchette haute)
Si on prend 500 000 tonnes pour  la tour et 70 000 Tonnes de béton, on n’est plus qu’à 5 % nécessaire…
Dans le cas de la tour réelle, on peut donc imaginer se situer entre ces deux extrêmes.
Tout cela est simplifié et grossier, ne donne qu’un ordre de grandeur, mais a le mérite de pouvoir être compris par beaucoup.
Des modèles plus fins ont été développés où on ne tient pas compte seulement de l’énergie nécessaire à la pulvérisation du béton, mais aussi l’éjection de la poussière et la torsion des colonnes par flambement. Le dernier article de Bazant est très complet… Alors bien sûr, on peut ne pas être d’accord sur les hypothèses mais le modèle est assez simple et décrit très bien  le processus d’effondrement.

Concernant la perte d’énergie
Alors effectivement, cette pulvérisation, au même titre que l’éjection de la poussière ou la déformation plastique des aciers ralentit la chute.  Mais on voit sur l’explication très simple exposée plus haut que pour la pulvérisation du béton, cela ne représente grossièrement que 10 % de l’énergie totale…Pour le reste (acier, éjections…) je n’ai pas l’ordre de grandeur en tête mais au final Bazant arrive je pense à 50 % de perte environ… La durée de chutes après calcul est alors augmentée de 50 % et 65 % par rapport au temps de chute libre suivant les tours…
Le reste ? cela donne le choc sismique lors du contact au sol. Et les durées sont compatibles avec les modélisations de Bazant :   
enregistrement sismique (très subjectif : où ça commence ?, où sa finit ?) 12.59 ± 0.50 s for the North Tower, and 10.09 ± 0.50 s for South Tower
Modélisation de Bazant : 12.81 s and 10.47s for the North and South towers
Tout ça colle donc assez bien, ce qui montre que le modèle n’est pas farfelu… après, on peut faire varier certains paramètre mais cela ne va pas grandement influer sur le résultat final.


Pour finir, je voudrais ajouter quelque chose d’important : il ne faut pas confondre les causes de l’effondrement qui elles sont parfaitement connues (crash + feu + flambemment des colonnes de la structure) et les conséquences (effondrement dynamique et éjections) . Les modèles commencent à rendre compte assez fidèlement des conséquences… mais au départ, les experts ne s’en sont pas trop occupés car le but était de déterminer les causes de l’effondrement pour éviter que cela se reproduise… Ce fût notamment le cas de Matthys Lévy. C’est ensuite la rumeur sur la DC qui a poussé les scientifiques à développer plus en détail le modèle du processus d’effondrement qui avait été décrit de manière approximative… Le dossier n’est donc pas fermé par les scientifiques…


Désolé mais par manque de temps, je ne pourrai pas répondre à toutes les questions…

Dernière modification par moorea34 (19-11-2008 14:02:03)

 

#36 19-11-2008 18:44:50

GreMan
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Sur la pulvérisation de l'acier: tout matériau est pulvérisable pouvu que l'on y mette la puissance nécessaire.

La matière est lacunaire, elle est faite de molécules liées entre elles: les liaisons inter-moléculaires sont plus ou moins énergétiques, et si l'on fournit une énergie supérieure à la liaison inter-moléculaire, on peut casser la liaison et séparer une molécule d'une autre.

C'est vrai aussi des liaisons inter-atomiques, et même nucléaires (mais les énergies mises en jeu sont d'un ordre de grandeur bien plus élevé dans ce dernier cas). 

Si l'acier n'était pas pulvérisable on ne pourrait pas percer dedans, c'est à dire le réduire à l'état de très fines particules métalliques afin d'y faire un trou.


Ensuite pourquoi parler de puissance par unité de surface et pas de puissance tout court? J'aurais envie de répondre: pour une raison analogue à celle pour laquelle on parle de pression et non pas de force. 


Si par exemple je vous pose la question: est-il possible de percer de l'acier avec un marteau piqueur d'une puissance de 750 Watts armé d'un burin en acier molybdène?


Eh bien vous ne pouvez pas répondre, parce que je ne vous ai pas donné le diamètre du burin et que par conséquent vous ne connaissez pas la superficie à percer.


Si je vous dis un diamètre de 13 mm, vous répondez oui, si je vous dis un diamètre de 26mm vous répondez non.


Vous avez la même puissance, mais dans le second cas étalée sur une plus grande surface.

Donc pour comparer ce qui est comparable il faut tout ramener à une unité de surface.


Ensuite il faut bien comprendre le mécanisme suivant: dans le cas d'une chute libre l'énergie mécanique se conserve, mais dans le cas de l'effondrement à chaque collision de l'énergie mécanique est perdue et absorbée par le matériau, donc plus l'effondrement est rapide plus le rythme d'absorption de cette énergie par le matériau est rapide, et arrive un moment donné où la capacité d'absorption du matériau est dépassé et alors il vole en éclats. De façon analogique un homme peut manger 10 kgs de pâtes en 1 mois, si vous le forcez à les manger en 5 mns, il va éclater.


Alors vous pouvez objecter que le matériau peut restituer l'énergie, certes mais à ce moment-là cela revient à ralentir la chute. Le cas extrême est celui du rebond: le sol restitue à la balle une partie de son énergie cinétique et celle-ci repart en sens inverse. Si l'on poursuit notre analogie, l'homme peut vomir une partie des 10 kgs de pâtes pour ne pas éclater, mais cela revient à ralentir le rythme d'absorption. 

   
Enfin l'hétérogénéité des matériaux n'a aucune incidence sur les calculs de puissance:

vous posez un oeuf sur un verre: si vous tapez un peu fort vous cassez l'oeuf, si vous tapez encore plus fort vous cassez l'oeuf et le verre.


Donc si lors de l'effondrement les matériaux absorbent de l'énergie à un rythme correspondant à la puissance de pulvérisation de l'acier, tout devrait y passer, il n'y a aucune raison pour que l'acier ne subisse que des déformations, ce qui correspondrait à des puissances plus faibles.



Par conséquent si l'acier a été préservé, c'est que la puissance n'était pas suffisante, et si la puissance n'était pas suffisante c'est que la vitesse n'était pas suffisante ou que la masse n'était pas suffisante.


Comme la vitesse était suffisante, c'est donc que la masse n'était pas suffisante.


Et si la masse n'était pas suffisante, c'est parce que beaucoup de masse a été perdue au cours de la chute.


Mais pour perdre cette masse il a fallu dépenser beaucoup d'énergie pour la pulvériser et l'expulser.


Et lorsqu'on dépense beaucoup d'énergie pour la casse on en a moins pour aller plus vite.

Pourtant cela est allé très vite...


La vérité est si obscurcie en ces temps et le mensonge si établi, qu'à moins d'aimer la vérité, on ne saurait la reconnaître. (Pascal)

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#37 19-11-2008 18:49:39

Keussèje
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

charmord à écrit à moorea34 :

Je laisserai les spécialistes te répondre quant au calcul de Greening et Bazant. Je te signale toutefois d'ores et déjà que leurs calculs sont très loin de faire l'unanimité au sein de la communauté scientifique. On en a parlé dans d'autres fils de discission en long et en large.

Kuttler s'est déjà bien occupé de Greening. L'étude des articles de Bazant est au programme, mais pas pour tout de suite.

Et de tout ceci, il ressort que la dissociation que tu opères entre les causes et conséquences de l'effondrement est spécieuse, erronée et procède d'un raisonnement purement téléologique qui m'amène à redouter que les calculs que tu produis soient de formidables moyens de noyer les points essentiels de cette enquête sous un épais nuage (pyroclastic LIKE big_smile) de chiffres et calculs abscons pour le commun des mortels.

Nous ne nous laisserons pas enfumer. La différence faire par moorea34 entre causes et conséquences n'est effectivement pas recevable. Le NIST n'a pas su trouver les causes du début de l'effondrement ; ou s'il les a trouvées, il les gardes secrètes. Il n'a pas su trouver non plus les causes de la poursuite de l'effondrement, se contentant de sortir onze fois de suite une formule magique à base d'énergie potentielle.

Mais revenons au sujet de ce fil. Sur la pulvérisation de l'acier, la critique de moorea34 paraît justifiée : on voit pas en quoi un tel phénomène devrait être pris en compte par le modèle de GreMan. Laissons toutefois à ce dernier le temps de répondre aux multiples questions qui lui ont été posées.

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#38 19-11-2008 19:00:52

Coubiac
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Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Le NIST n'a pas su trouver les causes du début de l'effondrement ; ou s'il les a trouvées, il les gardes secrètes. Il n'a pas su trouver non plus les causes de la poursuite de l'effondrement, se contentant de sortir onze fois de suite une formule magique à base d'énergie potentielle.

Pour le NIST l'initiation de l'effondrement est dans leur rapport et correspond effectivement à ce qu'a dit moorea34, seul l'effondrement complet ne l'est pas car coule de sens selon eux. Tu voulais peut être dire autre chose que je n'ai pas compris ?

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#39 19-11-2008 20:05:54

Keussèje
Membre du forum
Date d'inscription: 20-08-2008
Messages: 946

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

Coubiac a écrit:

Pour le NIST l'initiation de l'effondrement est dans leur rapport et correspond effectivement à ce qu'a dit moorea34, seul l'effondrement complet ne l'est pas car coule de sens selon eux. Tu voulais peut être dire autre chose que je n'ai pas compris ?

Le rapport contient-il tout ce qui est nécessaire pour que les preuves des assertions puissent être vérifiées ? Si j'ai bien compris, on n'y trouve pas le modèle utilisé pour déterminer la propagation de la chaleur. Aurais-je raté un épisode ?

Et si j'ai bien lu, on n'y trouve pas l'explication d'un fait majeur, qui est que les deux Hauts de Tour ne sont pas tombés comme des blocs mais se sont désagrégés par le bas, du moins pour une part.

Le NIST n'ayant pas réussi à donner une description adéquate et justifiée du début de l'effondrement, il ne l'a pas véritablement expliqué, il n'en a pas véritablement trouvé les causes. Il a seulement proposé des causes plausibles, autrement dit il en est resté au stade des hypothèses et a fait de l'enfumage.

Pour la poursuite de l'effondrement, ils ont fait comme si ça allait de soi. On n'est pas plus jean-foutre ! Qu'on ne (re)vienne pas nous (re)dire que les préoccupations techniques et sécuritaires du NIST rendaient facultative l'explication de la poursuite de l'effondrement. Sa mission première était de dire "comment et pourquoi" les choses s'étaient produites.

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#40 19-11-2008 20:15:08

amilcar
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Messages: 341

Re: 11/09/2001: ce que les calculs révèlent

@Greman et aux autres

Si on m'avait dis un jour que je serais demandeur d'explications sur la mécanique des matériaux, la physique ou les maths,je n'y aurais pas crus!
Merci a tous pour votre soucis pédagogique( c'est vraiment a regretter d'avoir rêvassé pendant les cours de physique et de techno...........) et de me réconcilier avec des univers qui m'apparaissaient très abstrait!
Il n'est jamais trop tard!!

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